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1、西南交通大学 结构力学教研室1 1 第 八 章 矩 阵 位 移 法 第四节结构整体分析 本节将讨论利用结点变形连续条件和平衡条件 在结构坐标系中将各单元组装起来 建立结构的 结点力和结点位移间的关系式 结构总刚度方 程 即矩阵位移法的基本方程并求解 这就是所 谓的整体分析 结构的整体分析 K F FK 1 后处理法 所有单元均采用自由式单元刚 度矩阵 形成结构的原始刚度 矩阵 所有单元均采用自由式单元刚 度矩阵 形成结构的原始刚度 矩阵 根据已知位移边界条件 进行 边界条件处理 形成结构刚度 矩阵K 或结构刚度方程 用后处理法分析结构时 每个 结点的位移分量数是相同的 每个 结点的位移分量数是
2、相同的 各单元刚度矩阵的阶数也是相 同的 各单元刚度矩阵的阶数也是相 同的 原始刚度矩阵的阶数由结点总 数乘结点的位移分量来确定 整个分析过程便于编制通用程 序 图示的平面刚架 用后 处理法分析结构时 图示的平面刚架 用后 处理法分析结构时 4个 刚结点 共有 个 刚结点 共有12个结点位移分量个结点位移分量 1 2 34 1 2 3 K F 结构的原始刚度矩阵为12阶 方阵 1 2 3 7 8 9 10 11 12 4 5 6 西南交通大学 结构力学教研室2 前处理法 结构边界条件在形成 结构刚度方程之前就 进行处理的方法 只引入独立的未知位 移分量 结点力向量不包括支 座反力 由单元刚度
3、矩阵直接形成己考虑 边界条件的结构刚度 矩阵 前处理法在程序编制 中 必须建立结点位 移分量编号数组 来 代替后处理法的约束 处理数组 2 2 2 1 1 1 6 5 4 3 2 1 v u v u 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1 2 34 1 2 3 0 0 0 由单元刚度矩阵直接 形成己考虑边界条件 的结构刚度矩阵 或结 构刚度方程 由单元刚度矩阵直接 形成己考虑边界条件 的结构刚度矩阵 或结 构刚度方程 K F K为为6阶方阵 阶方阵 一 结构原始刚度矩阵的组集 以图示的平面刚架为例来说明用后处理法组集结构 的原始刚度矩阵 x y 3m5m 4m 1 2 34 1 2 3 结构的
4、原始刚度方程 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 v u v u v u v u M Y X F M Y X F M Y X F M Y X F K 现将单元杆端位移按结点i j划分为两个结点位移 子阵 则整体坐标单元刚度方程为 e j i e e j i e jjji ijii e j i kk kk F F 3m5m 4m 1 2 34 1 2 3 西南交通大学 结构力学教研室3 3 1 kk kk k 1 33 1 31 1 13 1 11 1 4 3 kk kk k 2 44 2 43 2 34
5、 2 33 2 4 2 kk kk k 3 44 3 42 3 24 3 22 3 各单元刚度矩阵的四个子块分别为各单元刚度矩阵的四个子块分别为 1 3 3 4 2 4 结点码结点码 各单元 的始 末两端 各单元 的始 末两端i j 的结点号码 的结点号码 结构原始刚度矩阵K的组集 把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码 逐一送到结构原始刚度矩阵中相应的行和列的位置上 去 就可得到结构原始刚度矩阵 简单地说就是各单刚子块 对号入座 就形成总刚 对号入座 的具体作法 1 将各单元始 末两端结点码i j分别与结构的整 体结点码i j相对应 2 单元刚度子矩阵送 单元刚度子矩阵送 K 的的i
6、行行i 列子矩 阵位置累加 单元子矩阵送 列子矩 阵位置累加 单元子矩阵送K 的的 j 行行 j 列子矩阵位置累加 列子矩阵位置累加 e ii k e jj k 单元子矩阵送单元子矩阵送K 的的i 行行j 列子矩阵位置累加 列子矩阵位置累加 e ji k 单元子矩阵送单元子矩阵送K 的的j 行行i 列子矩阵位置累加 列子矩阵位置累加 e ij k 3 1 1 33 1 31 1 13 1 11 1 kk kk k 4 3 2 44 2 43 2 34 2 33 2 kk kk k 4 2 3 44 3 42 3 24 3 22 3 kk kk k 各单元刚度矩阵的四个子块分别为各单元刚度矩阵的
7、四个子块分别为 1 3 3 4 2 4 西南交通大学 结构力学教研室4 结构原始刚度矩阵K的组集 2 1 34 4 3 2 1 结 点 码 结 点 码 1 11 k 1 13 k 1 31 k 1 33 k 2 33 k 2 34 k 2 43 k 2 44 k 3 22 k 3 24 k 3 42 k 3 44 k 形成结点外力与结点位移之间的关系 通常称为结 构的原始刚度方程 K F 3 44 2 44 2 43 3 42 2 34 2 33 1 33 1 31 3 24 3 22 1 13 1 11 44434241 34333231 24232221 14131211 kkkk0 kk
8、k0k k0k0 0k0k KKKK KKKK KKKK KKKK K 所谓 原始 是表示尚未进行支承条件处理 所谓 原始 是表示尚未进行支承条件处理 结构刚度系数 结构原始刚度矩阵 K 中元素Kij 的物理意义 当仅发生广义位移 j 1时 在第i个广义位移对应 处所需施加的广义力 K87 K26 3m5m 4m 1 2 34 1 2 3 3m5m 4m 1 2 34 1 2 3 结构刚度系数 K87 K87 1 7 西南交通大学 结构力学教研室5 对于由自由式单刚集成的原始刚度矩阵具 有以下性质 1 对称性 由反力互等定理可得 Kij Kji 因此K 是对称矩阵 2 奇异性 因为所有单元都是
9、自由式的 结构存在刚体位移 在 给定平衡的外荷载作用下不可能确定其惯性运动 也 即不可能确定结构的位移 因此K 是奇异的 3 稀疏性 根据集成规则 有单元相连接的杆端结点称为相关 结点 无单元连接的结点为不相关结点 显然如果i 和 j 为不相关结点时 则 K 的子矩阵Kij Kji 0 因此 如果作结构离散化时注意了使相关结点编码 的最大差值尽可能小 则结构原始刚度矩阵 K 只在 对角线附近一带状区域内有非零的子矩阵 也即K 具有稀疏性 三 按前处理法组集结构刚度方程 下面仍以图示的平面刚架来说明用前处理法组集结 构的刚度矩阵 按前处理法对结点位移编码时 将已知为零的结点 位移分量编号均用零表
10、示 1 2 34 1 2 3 0 0 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 结构的结点位移分量只引入独立的未知位移分量 与结点位移列向量相对应的结点力向量不包括支座 反力 即 2 2 2 1 1 1 6 5 4 3 2 1 v u v u 2 2 2 1 1 1 6 5 4 3 2 1 M Y X M Y X F F F F F F F 西南交通大学 结构力学教研室6 由单元刚度矩阵直接形成己考虑边界条件的结构刚 度方程 K F 6 5 4 3 2 1 F F F F F F K 1 结点位移分量的编码及单元的定位向量 由单元杆端位移分量 亦称局部位移码 对应的结 构结点位移分量 亦称整体位
11、移码 序号所组成 的向量 称为单元的定位向量 单元的定位向量为 1 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 1 kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk k 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 结点位移码 结点位移码 结点位移分量序 号所组成的向量 也称为单元的 定位向量 结点位移分量序 号所组成的向量 也称为单元的 定位向量 3m5m 4m 1 2 34 1 2 3 单元的定位向量为 2 666564636261 56555
12、4535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 2 kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk k 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 结点位移码结点位移码 3m5m 4m 1 2 34 1 2 3 西南交通大学 结构力学教研室7 单元的定位向量为 3 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 3 kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkk
13、kkk kkkkkk k 0 0 0 4 5 6 0 0 0 4 5 6 结点位移码结点位移码 3m5m 4m 1 2 34 1 2 3 2 用单元定位向量确定单元刚度矩阵每个 元素在结构刚度矩阵中位置的方法是 1 将单元 e 的定位向量分别写在单元刚度矩阵的上 方和右侧 这样的元素的行 列号就分别与 单元定位向量对应的一个分量相匹配 2 若单元定位向量的某个分量为零 则中相应的 行和列可以删去 亦即不送入结构刚度矩阵 K 中 e k e ij k e k 3 单元定位向量位于的上方和右侧 其中不为零 的行 列分量 就是中元素在结构刚度矩阵 K 中的行码和列码 按照单元定位向量中非零分量给出的
14、行码和列码 就能够将单元刚度矩阵的元素正确地累加到结构刚 度矩阵K 中去 e k e k e ij k 单元的单元刚度矩阵对K的贡献 1 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 1 kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk k 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 结点位移码结点位移码 遇零不送遇零不送 西南交通大学 结构力学教研室8 单元的单元刚度矩阵对K的贡献 3 666564636261 565554535251 4645
15、44434241 363534333231 262524232221 161514131211 3 kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk kkkkkk k 0 0 0 4 5 6 0 0 0 4 5 6 结点位 移码 结点位 移码 结构刚度矩阵K的组集 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 44 k 1 45 k 1 46 k 1 54 k 1 55 k 1 56 k 1 64 k 1 65 k 1 66 k 3 44 k 3 45 k 3 46 k 3 54 k 3 55 k 3 56 k 3 64 k 3 65 k 3 66 k 结构刚度矩阵K
16、 上述集成过程表明 主对角线元素是由同一结点相关单元的刚度矩阵主 对角线元素叠加而成 因此一定是正值 副对角线元素是由定位向量所对应的单元刚度矩阵 副对角线元素累加而成 可为正 可为负 亦可为 零值 西南交通大学 结构力学教研室9 对号入座 法综述 所谓 对号入座 即把单元杆端位移分量序号换 成对应的结点位移分量序号 这一步通常称为换码 搬到K 中相应编号的位置 通称对号入座 在K 中 同一号码位置上的元素相加 称为集合 换码 的实质是满足变形协调条件 集合 的 实质是满足平衡条件 因此 上述形成结构刚度矩 阵的过程 就是使单元集合时同时满足变形协调和 平衡条件的过程 例 试求结构原始刚度矩阵中的子块的4个元素 K22 3 2 1 x y M 4 已知各杆件在整体坐标系中的单元刚度矩阵为 0000 01000100 0000 01000100 kk 64486448 48364836 64486448 48364836 k 3 2 1 x y M 4 64 48 48 236 22 K 例 求图示结构原始刚度矩阵的元素 4544 K K 2 1 3 4 A I I l l 2 1 3
