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1、第1章 随机事件及其概率（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mn 种方法来完成。（6）事件的关系与运算运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC
2、)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件，有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件的概率。（8）古典概型1 ，2 。设任一事件，它是由组成的，则有P(A)= =（9）几何概型。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P()=1- P(B)
3、（12）条件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有。（14）独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(
4、BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式设事件满足1两两互不相容，2，则有。（16）贝叶斯公式设事件，及满足1 ，两两互不相容，0，1，2，2 ，则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（，），通常叫先验概率。，（，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；u 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否
5、与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。第二章 随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1）， （2）。（2）连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有， 则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率
6、密度。密度函数具有下面4个性质：1 。2 。（3）离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ；2 是单调不减的函数，即时，有 ；3 ， ；4 ，即是右连续的；5 。对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，
7、设为，则可能取值为。， 其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。均匀分布设随机变量的值只落在a，b内，其密度函数在a，b上为常数，即axb 其他，则称随机变量在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，b)。分布函数为0， xb。当ax1x2b时，X落在区间（）内的概率为。指数分布 ,0, ,其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 , x0。 记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为，
8、 ，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。具有如下性质：1 的图形是关于对称的；2 当时，为最大值；若，则的分布函数为。参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，则。 下分位表：；上分位表：。离散型已知的分布列为，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值
9、为，且事件=的概率为pij,称为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y Xy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cyx1时，有F（x2,y）F(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系（5）边缘分布离散型X的边缘分布为；Y的边
10、缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布0随机变量的函数若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
11、例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1 D1O 1 x图3.1yD211 O 2 x图3.2yD3dcO a b x图3.3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y根据定义计算：对于连续型
12、，fZ(z)两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：分布设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。F分布设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n
