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1、兰州市2018年高三实战考试理科数学第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则( )A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A2. 已知在复平面内,复数对应的点是 ,则复数的共轭复数( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】复数对应的点是复数的共轭复数故选D.3. 等比数列中各项均为正数,是其前项和,满足,则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等比数列的公比为.,即.或(舍去)故选D.4. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,若曲线的方程为,则落入阴影部分的点的个数的
2、估计为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意,阴影部分的面积为,正方形的面积为1.正方形中随机投掷10000个点,落入阴影部分的点的个数的估计值为故选B.点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解;(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域;5. 已知非零单位向量满足,则与的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】设与的夹角为.,即.,则.为非零单位向量,即.故选D.6. 已知点为双曲线的左右焦点,点在双曲线上,为等腰三角形,且顶角为 ,则该双
3、曲线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由点在双曲线上,为等腰三角形,且顶角为 ,得,过点作轴,垂足为,则,如图所示:在中,则,即,代入双曲线方程得,即.点为双曲线的左右顶点双曲线的方程为故选B.7. 在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,为垂足,若直线的斜率,则线段的长为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】抛物线的方程为焦点,准线的方程为.直线的斜率直线的方程为,当时,即.为垂足点的纵坐标为,代入到抛物线方程得,点的坐标为.故选C.8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的九章算术中提出多项式求值的秦九韶算法,如图所示的程序框图给出了
4、利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,依次输入的的值为,则输出的 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】初始值,程序运行过程如下:,不满足,执行循环;,不满足,执行循环;,满足,退出循环;输出故选C9. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示:其中,底面为直角三角形,高为.该几何体的体积为故选A.10. 设 ,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】.故选A.11. 已知函数,如果时,函数的图象恒过在直线的下方,则的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】令
5、,则,即.当时, 在上单调递增,则当时, ,满足题设;当时, 在上不单调,因此存在实数不满足题设,所以D不正确.故选B.点睛:本题的解答过程是巧妙构造函数,先运用求导法则求出函数的导数,再运用分类整合思想分析推断不等式成立的条件,进而求得实数的取值范围,使得问题获解.12. 已知是定义在上的可导函数,若在上有恒成立,且为自然对数的底数),则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设,则.在上有恒成立在上恒成立,即在上为减函数.,故A,B不正确.故选C.点睛:利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:
6、如构造, 构造, 构造, 构造等第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知变量具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若关于的回归方程为,则 _【答案】【解析】由题意得,代入到线性回归方程,得.故答案为.14. 若变量满足约束条件 ,则目标函数的最大值是_【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示:由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,此时最大.由得,即,代入目标函数得,即的最大值是.故答案为.点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可
7、行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 的展开式中,常数项的值为_(用数字作答)【答案】【解析】 , ,常数项为.16. 已知数列满足,若,则数列的通项 _【答案】【解析】,即数列是以为首项,公比为的等比数列故答案为.点睛:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数
8、列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (一)必做题17. 已知向量,函数.(1)求函数的图象对称轴的方程;(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)根据三角恒等变换可得,再令,即可得函数的图象对称轴的方程;(2)根据,可得,再结合三角函数图象即可得函数在上的最大值和最小值.试题解析:(1)由已知,对称轴的方程为,即.(2),.18. 如图所示,四边形是边长为的菱形,平面平面,.(1)求证:(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:
9、(I)连接,根据菱形的性质可知,结合,可得平面,垂直同一个平面的两条直线平行,故四点共面,故.(2)以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系.计算直线的方向向量和平面的法向量,利用线面角公式求得线面角的正弦值.试题解析:()证明:连接,因为是菱形,所以.因为平面,平面,所以.因为,所以平面.因为平面,平面,所以.所以,四点共面.因为平面,所以.()如图,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系.可以求得,.所以,.设平面的法向量为,则即不妨取,则平面的一个法向量为.因为,所以 .所以直线与平面所成角的正弦值为.19. 某智能共享单车备有两种车型,
10、采用分段计费的方式营用型单车每分钟收费元(不足分钟的部分按分钟计算),型单车每分钟收费元(不足分钟的部分按分钟计算),现有甲乙丙三人,分别相互独立第到租车点租车骑行(各租一车一次),设甲乙丙不超过分钟还车的概率分别为,并且三个人每人租车都不会超过分钟,甲乙均租用型单车,丙租用型单车.(1)求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;(2)设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量,求的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)答案见解析.【解析】试题分析:(1)利用相互独立事件的概率公式,分两种情况计算概率;(2)随机变量所有可能取值有,根据相互独立事件的概率公式求出各种情况对应的概率,即可得出分布
11、列,再计算数学期望试题解析:(1)由题意,甲乙丙在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为,设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件,则;(2)随机变量所有可能取值有, 则,所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为所以 .点睛:数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念,反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时,首先要分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式,计算每个变量取每个值的概率,列出对应的分布列,最后求出数学期望.20. 已知为椭圆的左右焦点,点在椭圆上,且.(1)求椭圆的方程;(2)过的直线分别交椭圆于和,且,问是否存在常数,使
12、得等差数列?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)答案见解析.【解析】试题分析:(1)由已知可得,将 代入 可得;(2)当的斜率为零或斜率不存在时,=;当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得设,应用韦达定理,弦长公式由直线的斜率为,得到,计算得到=,求得.试题解析:(1)因为,所以所以 ,将P代入可得所以椭圆的方程为(2)当的斜率为零或斜率不存在时,=;当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得设,则因为直线的斜率为,所以=综上,所以,存在常数使得成等差数列.考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.等差数列.21. 已知函
13、数,曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数)(1)求的解析式及单调递减区间;(2)若存在,使函数成立,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】试题分析:(I)首先求得函数定义域与,然后利用导数的几何意义求得的值,从而根据求得函数的单调递减区间;(II)首先将问题转化为,然后求得,并求得其单调区间,从而求得其最小值,进而求得的范围(I)由及得函数的定义域为 由题意 解得故, 此时,由得所以函数的单调递减区间是(II)因为,由已知,若存在使函数成立,则只需满足当时,即可又,则,若,则在上恒成立,所以在上单调递增,又,若,则在上单调递减,在上单调递增,所以 在 上的最小值为,又 综上所述, 的取值范围22. 已知直线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,曲线的参数方程是为参数).(1)求直线被曲线截得的弦长;(2)从极点作曲线的弦,求各位中点轨迹的极坐标方程.【答案】(1);(2).【解析】【试题分析】(1)先借助参数方程、极坐标方程与直角坐标之间的关系互化,再运用弦心距、半径、半弦长之间的关系分析求解;(2)依据题设条件建立极坐标系,运用解直角三角形的知识进行求解:()直线的直角坐标方程是,曲线的普通方程是,易得圆心到直线的