《2017-2018学年高中数学 第三章 数系的扩展与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版选修2-.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 数系的扩展与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版选修2-.doc（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、32.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义复数的加减法已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足问题3：以交换律进行说明提示：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i，z2z1(cdi)(abi)(ca)(db)i，z1z2z2z1.1复数的加、减法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.2复数加法的
2、运算律(1)交换律：z1z2z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)对复数加、减法的理解1把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了2复数的加、减法中规定，两复数相加、减，是实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减，复数的加、减法可推广到多个复数相加、减的情形3两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数例如，(32i)2i3.复数加、减法的几何意义如图，分别与复数abi，cdi对应问题1：试写出，及，的坐标提示：(a，b)，(c，d)，(ac，bd)，(ac，bd)问题2：向量，对应的
3、复数分别是什么？提示：向量对应的复数是ac(bd)i，也就是z1z2，向量对应的复数是ac(bd)i，也就是z1z2. 复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1z2对应的向量是 ，与z1z2对应的向量是 . 对复数加、减运算几何意义的认识1若复平面内任意两点Z1，Z2所对应的复数分别是z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离|Z1Z2|z2z1|.2复数加、减法的几何意义包含两方面：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释复数的加、减
4、运算计算：(1)(23i)(5i)；(2)(1i)(1i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR)(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i.(2)(1i)(1i)(11)()i2i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.复数的加、减运算的技巧(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项计算下列各题(1)(32i)(105i)(217i)；(2)(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0172 018i)解：(1)原式(3102)(2517)i520i.(2)原式(12342 0152
5、 0162 017)(23452 0162 0172 018)i1 0091 010i.复数加、减运算的几何意义已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数52i，45i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM，所以zDzAzCzB17i，因为：zCzA2(52i)72i，所以|72i|，因为：zDzB(17i)(45i)512i，所以|512i|13.故点D对应的复数是17i，AC与BD的长分别是和13. 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何
6、意义的依据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数注意向量对应的复数是zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复数)复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如右图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)因为，所以对应的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，因为，所以对应的复数为(12i)(2i)13i.因为，所以它们对应的复数相等，即解得故点D对应的复数为2i.综合应用设z1，z2C，已知|z1
7、|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，由题设知a2b21，c2d21，(ac)2(bd)22.又(ac)2(bd)2a22acc2b22bdd2，2ac2bd0.|z1z2|2(ac)2(bd)2a2c2b2d2(2ac2bd)2，|z1z2|.法二作出z1，z2对应的向量，使，|z1|z2|1，又，不共线(若，共线，则|z1z2|2或0与题设矛盾)，平行四边形OZ1ZZ2为菱形又|z1z2|，Z1OZ290，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1z2|. 与复数模有关的几个常见结论在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1Z2对应的点
8、为C，O为坐标原点(1)则四边形OACB为平行四边形；(2)若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解：法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21. 由得2ac2bd1.|z1z2|.法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是边长为1的正三角形，四边形OACB是一个内角为60，边
9、长为1的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长，|z1z2|OC|.Mz|z1|1，Nz|zi|zi|，则MN_.利用复数的几何意义解决问题在复平面内，|z1|1的几何意义是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆|zi|zi|的几何意义是到点A(0,1)和点B(0，1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴MN的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数，故z0或z2，MN0，20，21本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M和N化简为Mz|z11，Nz|zi(zi)，从而造成解题错误2在复数运算中，若zabi，则|z|.要注意与实数运算中的绝对值运算的区别已知
10、复数z满足z|z|28i，则复数z_.解析：法一：设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得abi28i，解得z158i.法二：原式可化为z2|z|8i，|z|R，2|z|是z的实部，于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i，得z158i.答案：158i1复数(1i)(2i)3i等于()A1iB1iCi Di解析：选A原式(12)(113)i1i.2在复平面内， ，对应的复数分别为12i，23i，则对应的复数为()A15i B15iC34i D34i解析：选A(23i)(12i)15i.3实数x，y满足(1i)x(1i)y2，则xy的值是_解析：由题意得xy(
11、xy)i2，解得xy1.答案：14已知z是复数，|z|3且z3i是纯虚数，则z_.解析：设zabi，则abi3ia(b3)i是纯虚数，a0，b30.又|z|3，b3，z3i.答案：3i5已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，设zz1z2132i，求z1，z2.解：zz1z2(3xy)(y4x)ii(5x3y)(x4y)i，又z132i，且x，yR，解得z1(321)(142)i59i，z24(1)22i87i.一、选择题1如下图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1z2|等于()A1B.C2 D3解析：选B由图象可知z122i，z2i，所以
12、z1z22i，|z1z2|.2(福建高考)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A3，2B3,2C3，3 D1,4解析：选A(1i)(23i)32iabi，所以a3，b2.3在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是68i，对应的复数是46i，则对应的复数是()A214i B17iC214i D17i解析：选D依据向量的平行四边形法则可得，由对应的复数是68i，对应的复数是46i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是17i.4复数zxyi(x，yR)满足条件|z4i|z2|，则2x4y的最小值为()A2 B4C4 D16解析：选C由|z4i|z2|，得|x(y4)i|x2yi|，x2(y4)2(x2)2y2，即x2y3，2x4y2x22y224.当且仅当x2y时，2x4y取得最小值4.5ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|
