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1、第 1 页 共 6 页 20062007学年第一学期考试卷学年第一学期考试卷卷卷 承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。 专业 班级 学号 学生签名： 试卷编号： （A）卷 高等数学(A) 课程 (工科本科 06 级) 课程类别：必 闭卷（） 考试日期：2007.1.15 题号 一 二 三 四 五 总分 1 2 3 4 5 6 7 1 2 分值 10 15 7 7 7 7 7 7 7 9 9 8 阅卷人 (全名) 考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，
2、考试时间 120 分钟。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 一、填空题(每题 2 分，共 10 分) _)1(34)( 122= = + + = =xxxxxxf第一类间断点为第一类间断点为设函数设函数、 _ 11 2 0 2= =+ += = dydttyx则则，设设、 _)1 1(1 3= = =Kxy处的曲率处的曲率，在点在点等边双曲线等边双曲线、 _1 41 0 = =+ + dxxx、 _ 3 22 1 1 5= = = = = 则则垂直，垂直，与与，已知向量已知向量、ba 二、选择题(每题 3 分，共 15 分) = = + + D. 2 C. 1 B. 0
3、 . A) B ()sin11( 122limxxxxx、 22222221 D. )1(2 C. 12 B. 2 A.) C ( )()1ln( arctan 2tttdxydxyytytx + + += = = + += = =则则，确定确定设设、 得分得分 评阅人评阅人 得分得分 评阅人评阅人 1dxx211+ +222ln1 21第 2 页 共 6 页 xxexexxxexxxsin D. C. )ln(1 B. 1 A.) D (0 3 + + + 时成立的是时成立的是当当下列各式中，下列各式中，、 1cos D. 1cos C. 1sin B. 1sin A.) A()1(1 si
4、n)( 42CxCxCxCxdxxfxxxf+ + + + + + = = = = 则则，设设、 = = = + + = = = + + = = = + += = + + = =+ += =+ + + 0 822 D. 0 822 C. 0 822 B. 822 A.) D ( 19 522222222222zyyxyyyxxyyxyyxxoyzyzyx为为平面上的投影曲线方程平面上的投影曲线方程在在曲线曲线、 三、计算题(每题 7 分，共 49 分) xxxexx2220sin1 12lim 、 21 42 21 422 1 2222limlimlimlim02030420= = = = =
5、 = = = =xxexexxxexxexxxxxxxx原式原式解：解： )22( 2limnnnnn + + 、 2 21214 224 limlim= = + + += = + + += = nnnnnnnnn原式原式解：解： 得分得分 评阅人评阅人 得分得分 评阅人评阅人 第 3 页 共 6 页 yeeyxx + + += =求求，设设、 )1ln( 32 xxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeey222122221 2)1(2111 )1(11 + += = + + + + += = + + + + += = 解：解： dxxx 221 4、 CxxxCttdtttdttdtttt
6、dtdxtx+ + = =+ + = = = = = = = = arcsin1 cot )1(csc cot cossincos cos sin 2222原式原式则则，令令解：解： 得分得分 评阅人评阅人 得分得分 评阅人评阅人 分分扣扣缺缺1C第 4 页 共 6 页 dxxx 1 0 arctan 5、 214 214 arctan)1(21)arctan 21( )1(arctan 21 1 0 1 0 210221 0 = = = =+ + + += =+ += = dxxdxxxxdx原式原式解：解： 214 )arctan(218 1218 arctan21)arctan 2( a
7、rctan 21 101 0 221 0 210221 0 = = = =+ + = = = = = xxdxxxxdxxxdxx原式原式或解：或解： 的方程的方程求平面求平面，的距离为的距离为且原点到平面且原点到平面过直线过直线一平面一平面、 = =+ + = =+ + + 2 0404 6zxzyx 0622 0622 3 1824 2)1(16)(14 04)1(4)1( 0)4()4( 2222= =+ + = =+ + + + + += =+ += = = + + + += =+ + + + + += =+ + + + + + zyxzyxzyxzxzyx或或的方程为：的方程为：故所
8、求平面故所求平面由已知可得：由已知可得：即即的方程为：的方程为：设平面设平面解：解： 得分得分 评阅人评阅人 得分得分 评阅人评阅人 第 5 页 共 6 页 程程的对称式方程及参数方的对称式方程及参数方求直线求直线，及及，垂直向量垂直向量且方向向量且方向向量，过点过点一直线一直线、LbasML1 2 1 3 1 2)2 1 1( 7 = = = = =+ += =+ + = = = = = =+ + = = = = = = 52 171 521171 5 1 7 121312s tztytxzyxLkjibaL参数方程为：参数方程为：的对称式方程为：的对称式方程为：故直线故直线，的方向向量为的
9、方向向量为直线直线解：解： 四、综合应用题(每题 9 分，共 18 分) 线方程线方程的点处的切线方程与法的点处的切线方程与法在横坐标在横坐标求曲线求曲线、0 1= = =+ +xexyey exyxeyeKeKeyyeeyxyxyyexyxy= = = = = = = = = = = =+ + = = = = + + + = = = 1 1 )0( 01)0( 0 0 1 0 111法线方程为：法线方程为：故所求的切线方程为：故所求的切线方程为：，代入上式得：代入上式得：，将将求导得：求导得：将方程两边对将方程两边对时，时，当当解：解：法法切切 得分得分 评阅人评阅人 得分得分 评阅人评阅人
10、 第 6 页 共 6 页 2、设、设2xy = =定义在闭区间定义在闭区间0, 1上，上，t 是是0, 1上的任意一点，当上的任意一点，当 t 为何值时，为何值时， 图中的阴影部分面积和为最小图中的阴影部分面积和为最小 阴影部分面积最小阴影部分面积最小时，时，故当故当，得：得：令令阴影部分面积和为阴影部分面积和为解：解： 21 32)1( 41)21( 31)0( 21 0 0)( 24)( 3134 )31()31( )()()( 2231230321 22 0 22= = = = = = = = = = + + = = + + = = + + = = tSSStttStttSttxtxxx
11、tdxtxdxxttStttt 五、证明题(8 分) 0)()2 1( 0)2( 2 1 )( )()1()(2= = = = = = FfxfxfxxF使使，证明存在证明存在，且且上具有二阶导数，上具有二阶导数，在在其中其中，设设 0)( )2 1() 1( 0)()1( ) 1( 1 )( 0)1( )()1()()1(2)( 0)( )2 1( 0)2()1( )2 1( 2 1 )( 2= = = = = = = = + + = = = = = = = FccFFccxFFxfxxfxxFcFcFFxF使得使得，存在存在且且内可导内可导，在在上连续，上连续，在在所以所以又又使得使得，存在存在且且内可导内可导，在在上连续，上连续，在在由已知由已知证明：证明： 得分得分 评阅人评阅人 得分得分 评阅人评阅人 01t2xy = =xy
