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1、矩阵矩阵 第章第章矩矩阵阵第第一一章章矩矩阵阵 1 1矩阵乘法矩阵乘法转置转置求逆运算规律求逆运算规律矩阵乘法矩阵乘法转置转置求逆运算规律求逆运算规律 BCACAB 1 1 矩阵乘法矩阵乘法 转置转置 求逆运算规律求逆运算规律 矩阵乘法矩阵乘法 转置转置 求逆运算规律求逆运算规律 BCACAB 为数为数其中其中 BABAAB 为数为数其中其中 BABAAB ACABCBA CABAACB ACABCBA IAAAI nnmnmnmm 则称则称若若般地般地BAABBAABBA与与是可交换的是可交换的则称则称若若一一般地般地 BAABBAAB BA与与 是可交换的是可交换的 矩阵乘法一般不满足消去
2、律 即 矩阵乘法一般不满足消去律 即 YXAYAX 一般推不出 一般推不出 逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 定义定义 使如果存在矩阵阶方阵为设使如果存在矩阵阶方阵为设 IBAAB BnA 的逆矩阵的逆矩阵称为称为矩阵矩阵秩的秩的 满或非奇异的 非退化的是可逆的则称矩阵 满或非奇异的 非退化的是可逆的则称矩阵A IBAAB 的逆的逆的逆矩阵唯的的逆矩阵唯的则则有逆矩阵有逆矩阵若若 的逆矩阵的逆矩阵称为称为且且矩阵矩阵秩的秩的AB 1 A AAA 矩阵记作矩阵记作 的逆的逆的逆矩阵的逆矩阵是是唯唯一一的的则则有逆矩阵有逆矩阵若若 A 矩阵记作矩阵记作 1AA T T AA 1 1
3、 2 TT T BABA T 1 1 1 11 1 BABA 3 T T AA 4 TT T ABAB 1 1 1 AA 11 1 4 TT ABAB 11 1 ABAB T T1 1 T T AA 1 1 2 2一一些特殊的矩阵些特殊的矩阵一一些特殊的矩阵些特殊的矩阵2 2些特殊的矩阵些特殊的矩阵些特殊的矩阵些特殊的矩阵 对称矩阵对称矩阵 为对称矩阵为对称矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AA A nA T 为对称矩阵为对称矩阵则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AA A nA 反对称矩阵反对称矩阵 为反对称则称如果阶方阵为设为反对称则称如果阶方阵为设AA A nA T 矩阵矩阵 幂等
4、矩阵幂等矩阵幂等矩阵幂等矩阵 2 为幂等矩阵则称如果阶方阵为设为幂等矩阵则称如果阶方阵为设AA A nA 正交矩阵正交矩阵 为为则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AI A AA A nA TT 正交矩阵正交矩阵 为为则称则称如果如果阶方阵阶方阵为为设设AI A AA A nA TT 正交矩阵正交矩阵 对角矩阵对角矩阵 其余素全其余素全角线角线阶阵阶阵为为 为对角矩阵为对角矩阵则称则称为零为零 其余其余元元素全素全如果主对如果主对角线角线以外以外阶阶方方阵阵为为设设 A nA 为对角矩阵为对角矩阵则称则称为零为零A 3 3分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵3 3分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵
5、分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似相类似相类似相类似 需要特别注意的是需要特别注意的是 r AA AMM L 111 1 若若 T s T T AA AMM L 111 则则 srs AA A L MM 1 1 若若 T sr T r T AA A L MM 1 则则 均可逆均可逆 则则若每个子块若每个子块 1 2 siAiL 1 1 OA 均可逆均可逆 则则若每个子块若每个子块 1 2 siAi 1 1 OA 2 A O 1 2 A O s AO O 1 s AO O 1 1 A A 1 As N 2 A N 1 2 A N s A 1 1
6、A 初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵4 4初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵 记作记作列列对调矩阵的两行对调矩阵的两行 交换两行 列 交换两行 列 cr ijij 记作记作列列对调矩阵的两行对调矩阵的两行 数乘变换数乘变换 0 cr 记作中的所有元素列乘某一行以数记作中的所有元素列乘某一行以数 cr ii k列列倍加到另行倍加到另行所有元素的所有元素的列列把某行把某行 数乘及加法变换数乘及加法变换 kk k cr ijij 记作对应的元素上去 记作对应的元素上去 列列倍加到另倍加到另一一行行所有元素的所有元素的列列把
7、某把某一一行行 cr ijij 三种初等变换都是可逆的三种初等变换都是可逆的且其逆变换是且其逆变换是三种初等变换都是可逆的三种初等变换都是可逆的 且其逆变换是且其逆变换是 同一类型的初等变换 同一类型的初等变换 逆变换逆变换初等变换初等变换 c r ijij c r ijij 1 1 cr ii kk cr ii kk kk rr ijij kk rr ijij 由单位矩阵仅经过一次初等变换得到的矩由单位矩阵仅经过一次初等变换得到的矩 阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵 I 三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵 阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵三种
8、初等变换对应着三种初等矩阵 定定设设个个矩阵矩阵施行施行定定理理设设是一是一个个矩阵矩阵 对对施行施行一 次初等行变换 相当于在的左边乘以相应的 一 次初等行变换 相当于在的左边乘以相应的 nm m AA 阶初等矩阵 对施行一次初等列变换 相当于阶初等矩阵 对施行一次初等列变换 相当于 在在的右边乘以相应的的右边乘以相应的阶初等矩阵阶初等矩阵n A A在在的右边乘以相应的的右边乘以相应的阶初等矩阵阶初等矩阵 nA 交换两行 列 对调两行 列 交换两行 列 对调两行 列 得初等矩阵得初等矩阵 ijij CR ij nm ij aARm相当于左乘阶初等矩阵用相当于左乘阶初等矩阵用 得初等矩阵得初等
9、矩阵 ijij CR j nm ij iAA行与的第把施行第一种初等行变换对矩阵行与的第把施行第一种初等行变换对矩阵 r ij j行对调第 行对调第 ACn相当相当右乘矩阵右乘矩阵阶初等矩阵阶初等矩阵用用类似地类似地 ij iAA ACn 的第把施行第一种初等列变换于对矩阵的第把施行第一种初等列变换于对矩阵 相当相当右乘矩阵右乘矩阵阶初等矩阵阶初等矩阵用用类似地类似地 c ij j列对调列与第 列对调列与第 数乘变换 以数 非零 乘某行 数乘变换 以数 非零 乘某行 列列 得初等矩阵得初等矩阵 列列 得初等矩阵得初等矩阵 ii CR i iA AR 行行的第的第乘乘 非零 相当于以数左乘矩阵以
10、 非零 相当于以数左乘矩阵以 ri iA行行的第的第乘乘 AC 非零非零 相当于以数相当于以数右乘矩阵右乘矩阵以以 c i iA AC 列列的第的第乘乘 非零非零 相当于以数相当于以数右乘矩阵右乘矩阵以以 ci iA列列的第的第乘乘 数乘及加法变换数乘及加法变换以数以数乘某行乘某行 列列 k 数乘及加法变换数乘及加法变换 以数以数乘某行乘某行 列列 加到另一行 列 上去 得初等矩阵 加到另一行 列 上去 得初等矩阵 k kCkR ijij iAAkR行乘行乘的第的第相当于把相当于把左乘矩阵左乘矩阵以以 kjk iAAkR r ij 行上行上加到第加到第以以 行乘行乘的第的第相当于把相当于把左乘
11、矩阵左乘矩阵以以 kjk rij 行上行上加到第加到第以以 iAAkCij列乘列乘的第的第相当于把相当于把右乘矩阵右乘矩阵以以 kjk iAAkC cij ij 列上加到第以列上加到第以 列乘列乘的第的第相当于把相当于把右乘矩阵右乘矩阵以以 cij 5 5矩阵的等价矩阵的等价矩阵的等价矩阵的等价5 5矩阵的等价矩阵的等价矩阵的等价矩阵的等价 BABA BA 记作记作等价等价与与称矩阵称矩阵 就矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵就矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵 BABA记作记作等价等价与与称矩阵称矩阵 反身性反身性 AA反身性反身性 对称性对称性 AA ABBA则则若若 传递性传递性 对称性对称
12、性 ABBA则则若若 CACBBA则则若若 则则若若 6 6矩阵的标准形分解矩阵的标准形分解矩阵的标准形分解矩阵的标准形分解6 6矩阵的标准形分解矩阵的标准形分解矩阵的标准形分解矩阵的标准形分解 总可经过有限次初等对于任何矩阵总可经过有限次初等对于任何矩阵 nm A 2定理定理 标准形标准形 OI 的变换把它变为形如下式的变换把它变为形如下式 nm r OO OI N 必可找到初等矩阵矩阵亦即 对任一 必可找到初等矩阵矩阵亦即 对任一Anm 使得使得CCRRLL使得使得 11sl CCRR r OO OI sl CACRRLL 11 的标准形矩阵为矩阵称的标准形矩阵为矩阵称AN nm OO s
13、l11 的标准形是唯一的 的标准形是唯一的 A 阶可逆阵阶可逆阵 必可找到必可找到矩阵矩阵对任对任一一定理定理mAnm 2 使得阶可逆阵 使得阶可逆阵 阶可逆阵阶可逆阵 必可找到必可找到矩阵矩阵对任对任定理定理 QnP mAnm 2 Q OO OI PA r 2 5 1 OO nm 2 5 1 的标准形分解为矩阵一般称式的标准形分解为矩阵一般称式A 定理定理3 3 A A为可逆方阵的充分必要条件是存在为可逆方阵的充分必要条件是存在定理定理3 3 A A为可逆方阵的充分必要条件是存在为可逆方阵的充分必要条件是存在 有限个初等方阵有限个初等方阵 2121ll PPPAPPPLL 使使 1 BPAQQnPm BAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵 存在的充分必要条件是矩阵推论存在的充分必要条件是矩阵推论 BPAQQnPm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵 2推论推论可经过可逆的充分必要条件是阶矩阵可经过可逆的充分必要条件是阶矩阵AAn 可逆可逆为单位矩阵为单位矩阵 即矩阵即矩阵有限次初等行变换后化有限次初等行变换后化A 的充分必要条件的充分必要条件 可逆可逆为单位矩阵为单位矩阵 即矩阵即矩阵有限次初等行变换后化有限次初等行变换后化 IA r
