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1、学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 学点六 学点七 4 1 1 并集A B x x A或x B 对于任意的集合A B 有A A A A A B A B 若A B B 则AB 若A B B 则BA 2 由补集的定义可知 对任意集合A 有A CUA A CUA 5 用集合语言描述下面几个图 1 AB A B A B 2 AB A B A B 3 A B A B A B B A A B A B A B A A B A B A U 学点一基本概念的考查 已知U 1 2 3 8 A 1 2 3 4 B 2 3 4 5 求 1 A B 2 A CUB 3 CUA CUB 4 CUA CUB 分析 由集
2、合的交 并 补概念直接求解 解析 U 1 2 3 8 A 1 2 3 4 B 2 3 4 5 CUA 5 6 7 8 CUB 1 6 7 8 1 A B 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 2 A CUB 1 2 3 4 1 6 7 8 1 2 3 4 6 7 8 3 CUA CUB 5 6 7 8 1 6 7 8 6 7 8 4 CUA CUB 5 6 7 8 1 6 7 8 1 5 6 7 8 评析 集合的简单运算可由基本概念直接求解 已知集合S x 1 x 7 A x 2 x 5 B x 3 x 7 求 1 CSA CSB 2 CS A B 3 CSA CSB 4 CS A B
3、解 A B x 3 x 5 A B x 2 x 7 CSA x 1 x 2 x 5 x 7 CSB x 1 x 3 7 1 CSA CSB x 1 x 2或x 7 2 CS A B x 1 x 2或x 7 3 CSA CSB x 1 x 3或5 x 7 4 CS A B x 1 x 3或5 x 7 解析 M x y2 x 1 x x 1 0 x x 1 P x y2 2 x 3 x x 3 M P x x 1 且x 3 x 1 x 3 故应选C 学点二交集 分析 由集合的定义 集合M表示方程y2 x 1中x的范围 集合P表示方程y2 2 x 3 中x的范围 故应先化简集合M P 评析 理解集合
4、的表示形式 掌握其意义 利用交集定义可解决所给问题 已知集合M x y2 x 1 P x y2 2 x 3 那么M P A x y x y B x 1 x 3 C x 1 x 3 D x x 3 C 设集合A x y 2x y 1 x y R B x y a2x 2y a x y R 若A B 求a的值 解 集合A B的元素分别是二元一次方程2x y 1和a2x 2y a的解 因为两方程的公共解集A B 所以方程组无解 列方程组得 4 a2 x 2 a则即a 2 学点三并集 设A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 下列集合中与A B相等的集合是 A 4 5 6 7 8 B 3 4 6 7 1
5、0 16 C 3 4 5 6 7 8 9 D 3 4 5 6 7 8 分析 注意到集合A与集合B的并集的定义中 1 集合A B中的元素必须是集合A或集合B的元素 2 集合A B包含集合A与集合B中的所有元素 D 已知A x x 1或x 3 B x a x 4 若A B R 则实数a的取值范围是 A 3 a 4B 1 a 4C a 1D a 1 解 A x x 1或x 3 B x a x 4 A B R 由数轴知 a 1 故应选C C 学点四补集与全集 设A 0 2 4 6 CUA 1 3 1 3 CUB 1 0 2 求B 分析 由A CUA U确定全集U 则B可求 解析 A 0 2 4 6 C
6、UA 1 3 1 3 U 3 1 0 1 2 3 4 6 又 CUB 1 0 2 B 3 1 3 4 6 评析 解决与补集有关的问题时 应明确全集是什么 同时注意补集的有关性质 CU U CUU CU CUA A等 设全集U 2 3 a2 2a 3 A 2a 1 2 且CUA 5 求实数a的值 解 CUA 5 5 U 且5A a2 2a 3 5 即a 2或a 4 当a 2时 2a 1 3 这时A 3 2 U 2 3 5 CUA 5 适合题意 a 2 当a 4时 2a 1 9 这时A 9 2 U 2 3 5 AU CUA无意义 故a 4应舍去 综上所述可知a 2 学点五交集的应用 已知集合A x
7、 2 x 5 B x m 1 x 2m 1 若A B A 求实数m的取值范围 分析 由A B A得AB 故应从BA入手讨论 但考虑到B是A的子集 因此 不要忘记B 的情况 解析 由题意 A B A BA 1 若B 则m 1 2m 1 即m 2 此时总有A B A A成立 2 若B 则解得2 m 3 综合 1 2 知 m的取值范围是 m m 2 m 2 m 3 m m 3 评析 由A B A可得BA 而BA包括两种情况 即B 和B 本题常犯的错误是把B 漏掉而只讨论B 这一种情况 设集合A a2 a 1 3 B a 3 2a 1 a2 1 A B 3 求实数a的值 解 A B 3 3 B a 3
8、 3或2a 1 3 a 0或a 1 当a 0时 A 0 1 3 B 3 1 1 此时A B 1 3 与A B 3 矛盾 故舍去 当a 1时 A 1 0 3 B 4 3 2 满足A B 3 a 1 学点六Venn图的应用 分析 关于集合的交 并 补的问题 通常可以由分析法找出集合中一定有或一定没有的元素 对它们逐一检验 或利用Venn图 把元素一一放入图中相应位置 从而写出所求集合 解析 解法一 利用Venn图 在图中标出各个元素的相应位置 可以直接写出A与B A 2 3 5 7 B 1 2 9 若集合U x x是小于10的正整数 AU BU 且 CUA B 1 9 A B 2 CUA CUB
9、4 6 8 试求A与B 解法二 A B 2 CUA B 1 9 B A B CUA B 1 2 9 A B CU CUA CUB 1 2 3 5 7 9 又 B 1 2 9 A B 2 A 2 3 5 7 评析 事实上 在解决这类问题时 将Venn图的使用与分析法相结合更准确简捷 设A B都是不超过8的正整数组成的全集U的子集A B 3 CUA CUB 1 8 CUA B 4 6 求集合A B 解 U 1 2 3 4 5 6 7 8 在Venn图中将1 2 3 4 5 6 7 8分别填入到相应的位置中去 则由A B 3 CUA CUB 1 8 CUA B 4 6 得A CUB 2 5 7 A
10、2 3 5 7 B 3 4 6 学点七集合运算的应用 已知集合S 1 3 x3 3x2 2x A 1 2x 1 如果CSA 0 则这样的实数x是否存在 若存在 求出x 若不存在 说明理由 分析 解决此问题的关键是正确理解CSA 0 的意义 它有两层含义 即0 S 但0A 这样解题思路就清楚了 评析 解答此题时 我们由CSA 0 求出x1 0 x2 1 x3 2之后 验证其是否符合题目的隐含条件AS是必要的 否则就会误认为x1 0或x3 2也是所求的实数x 从而得出错误的结论 集合概念及其基本理论是近 现代数学的最基础的内容之一 学好这部分知识的目的之一就是在于应用 因此 一定要学会读懂集合的语
11、言和符号 并能运用集合的观点研究 判断和处理简单的实际问题 解 1 如A 1 2 3 B 2 3 4 则A B 1 2 不一定相等 由 1 知B A 4 而A B 1 B A A B 再如A 1 2 3 B 1 2 3 A B B A 此时A B B A 故A B与B A不一定相等 3 因为A B x x 6 B A x 6 x 4 A A B x 4 x 6 B B A x 4 x 6 由此猜测 一般的对于两个集合A B 有A A B B B A 设A B是两个非空集合 定义A与B的差集为A B x x A且xB 1 试举出两个数集A B 求它们的差集 2 差集A B与B A是否一定相等 并
12、说明你的理由 3 已知A x x 4 B x x 6 求A A B 及B B A 由此你可以得到什么更一般的结论 不必证明 1 在解题时如何用好集合语言 解集合问题 不仅仅是运用集合语言 更重要的是明确集合语言所蕴含的真实的数学含义 集合语言的转换过程 实质就是在进行数学问题的等价转换时 向着我们熟悉的能够解决的问题转化 2 在学习时应注意什么问题 1 对于交集 并集 全集 补集等概念的理解 要注意教材中的实例和Venn图的直观作用 2 要善于将三者进行比较记忆 找出它们之间的联系与区别 3 注意在集合运算中 运用Venn图 借助于数轴等几何方法直观理解 4 学会集合语言的运用 并逐渐学会用集
13、合的观点研究事物的内涵与外延 3 怎样理解全集和补集 全集并非包罗万象 含有任何元素的集合 它仅仅含有我们所要研究的问题中所涉及的所有元素 如研究方程实根 全集取为R 研究整数 全集取为Z 同时 要理解补集的定义的用法 1 交集与并集是集合的两种不同运算 对它们概念的理解要特别注意 且 与 或 的区别 交集和并集的符号 既有相同的地方 但又完全不同 不要混淆 2 对于交集 A B x x A 且x B 不能简单地认为A B中的任一元素都是A与B的公共元素 或者简单地认为A与B的公共元素都属于A B 这是因为并非任何两个集合总有公共元素 3 对于并集 A B x x A 或x B 不能简单地理解为A B是由A的所有元素与B的所有元素组成的集合 这是因为A与B可能有公共元素 4 Venn图在研究集合与元素 集合与集合关系中有广泛的应用 它主要体现在用图示帮助我们加强问题的理解 是数形结合在集合中的具体体现 特别是在解决列举法给出的集合运算中应用广泛 5 解决集合问题 应从元素入手进行分析处理 在顺向思维受阻时 改用逆向思维 可能 柳暗花明 从这个意义上讲 补集思想具有转换研究对象的功能 这是转化思想的又一体现 祝同学们学习上天天有进步
