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1、学 海 无 涯 第四章综合检测第四章综合检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每 小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 1 点 B 是点 A 1 2 3 在坐标平面 yOz 内的射影 则 OB 等于 A 14 B 13 C 2 3 D 11 解析 B 点坐标为 0 2 3 OB 02 22 32 13 应选 B 2 若方程 x2 y2 x y m 0 表示圆 则实数 m 的取值范围为 A m 1 2 B m 0 C m 1 2 D m 1 2 答案 A 解析 1 2 12 4m 0 m 1 2 故选 A 3 圆
2、x2 y2 2x 4y 0 的圆心坐标和半径分别是 A 1 2 5 B 1 2 5 C 1 2 5 D 1 2 5 答案 D 解析 圆的方程化为标准方程为 x 1 2 y 2 2 5 则圆心是 1 2 半径为 5 学 海 无 涯 4 直线 l y k x 1 2 与圆 C x 2 y2 1 的位置关系是 A 相交或相切 B 相交或相离 C 相切 D 相交 答案 D 解析 方法一 圆 C 的圆心 0 0 到直线 y k x 1 2 的距离 d 1 2k k2 1 d2 1 4k 2 k2 1 1 4 1 所判断的位置关系为相交 方法二 直线 l y k x 1 2 过定点 1 2 0 而点 1
3、2 0 在圆 C x2 y2 1 内部 故直线 l 与圆 C 相交 5 圆 x2 y2 ax 0 的圆心到 y 轴的距离为 1 则 a A 1 B 1 C 2 D 2 答案 D 解析 圆心坐标为 a 2 0 a 2 1 a 2 6 圆 C1 x2 y2 r2与圆 C2 x 3 2 y 1 2 r2 r 0 外切 则 r 的值为 学 海 无 涯 A 10 2 B 5 2 C 5 D 10 答案 A 解析 圆 C1与圆 C2的圆心坐标分别为 0 0 3 1 则圆心 距 d 10 故 2r 10 r 10 2 7 圆 x2 y2 4x 0 在点 P 1 3 处的切线方程为 A x 3y 2 0 B
4、x 3y 4 0 C x 3y 4 0 D x 3y 2 0 答案 D 解析 点 1 3 在圆 x2 y2 4x 0 上 点 P 为切点 从而圆心与 P 的连线应与切线垂直 设切线的斜率为 k 又 圆心为 2 0 0 3 2 1 k 1 解得 k 3 3 切线方程为 x 3y 2 0 8 2012 2013 江苏苏州模拟 若直线 x y 2 被圆 x a 2 y2 4 所截得的弦长为 2 2 则实数 a 的值为 A 1 或 3 B 1 或 3 C 2 或 6 D 0 或 4 答案 D 解析 由半径 半弦长 圆心到直线的距离 d 所形成的直角三 学 海 无 涯 角形 可得 d 2 故 a 2 2
5、 2 解得 a 4 或 a 0 9 2012 2013 北京东城区高三期末检测 直线 l 过点 4 0 且与圆 x 1 2 y 2 2 25 交于 A B 两点 如果 AB 8 那么直线 l 的方程为 A 5x 12y 20 0 B 5x 12y 20 0 或 x 4 0 C 5x 12y 20 0 D 5x 12y 20 0 或 x 4 0 答案 D 解析 由题意 得圆心 C 1 2 半径 r 5 当直线 l 的斜率 不 存 在 时 直 线l的 方 程 为x 4 0 解 方 程 组 x 1 2 y 2 2 25 x 4 0 得 x 4 y 2 或 x 4 y 6 即此时与圆 C 的交点坐标是
6、 4 2 和 4 6 则 AB 8 即 x 4 0 符合题 意 当直线 l 的斜率存在时 设直线 l 的方程为 y k x 4 即 kx y 4k 0 圆心 C 到直线 l 的距离 d k 2 4k k2 1 3k 2 k2 1 又 AB 2r2 d2 所以 225 3k 2 k2 1 2 8 解得 k 5 12 则直线 l 的方程为 5 12x y 4 5 12 0 学 海 无 涯 即 5x 12y 20 0 10 2012 广东卷 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 3x 4y 5 0 与圆 x2 y2 4 相交于 A B 两点 则弦 AB 的长等于 A 3 3 B 2 3 C 3 D 1
7、 答案 B 解析 圆 x2 y2 4 的圆心 O 0 0 到直线 3x 4y 5 0 的距离 d 5 5 1 弦 AB 的长 AB 2r2 d2 2 3 11 2012 2013 山东威海模拟 若直线 y kx 1 与圆 x2 y2 1 相交于 P Q 两点 且 POQ 120 其中 O 为原点 则 k 的值为 A 3或 3 B 3 C 2或 2 D 2 答案 A 解析 方法一 PQ 2 1 sin60 3 圆心到直线的距离 d 1 3 2 2 1 2 1 k2 1 1 2 解得 k 3 学 海 无 涯 方法二 利用数形结合 如图所示 直线 y kx 1 过定点 0 1 而点 0 1 在圆 x
8、2 y2 1 上 故不妨设 P 0 1 在等腰三角形 POQ 中 POQ 120 QPO 30 故 PAO 60 k 3 即直线 PA 的斜率为 3 同理可求得直线 PB 的斜率为 3 12 若直线 y kx 1 与曲线 y 1 x 2 2有公共点 则 k 的取值范围是 A 0 4 3 B 1 3 4 3 C 0 1 2 D 0 1 答案 D 解析 曲线 y 1 x 2 2表示的图形是一个半圆 直线 y 学 海 无 涯 kx 1 过定点 0 1 在同一坐标系中画出直线和半圆的草图 由图可知 k 的取值范围是 0 1 故选 D 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正
9、确 答案填在题中横线上 13 已知点 A 1 2 3 B 2 1 4 点 P 在 y 轴上 且 PA PB 则点 P 的坐标是 答案 7 6 解析 设点 P 0 b 0 则 1 0 2 2 b 2 3 0 2 2 0 2 1 b 2 4 0 2 解得 b 7 6 14 2012 2013 江苏扬州安宜高中期中 若圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦的长为 2 3 则 a 答案 1 解析 由 x2 y2 2ay 6 x2 y2 4 0 得两圆公共弦方程 为 ay 1 0 又因公共弦长为 2 3 所以圆心 0 0 到该公共弦的距离 为 1 即 0 1 a2 1 又
10、 a 0 所以 a 1 15 已知圆 C x 1 2 y 2 2 4 点 P 0 5 则过 P 作圆 C 的切线有且只有 条 答案 2 解析 由 C 1 2 r 2 学 海 无 涯 则 PC 12 2 5 2 5 2 r 2 点 P 在圆 C 外 过 P 作圆 C 的切线有两条 16 与直线 x y 2 0 和曲线 x2 y2 12x 12y 54 0 都相切 的半径最小的圆的标准方程是 答案 x 2 2 y 2 2 2 解析 A x 6 2 y 6 2 18的圆心A 6 6 半径r1 3 2 A 到 l 的距离 5 2 所求圆 B 的直径 2r2 2 2 即 r2 2 设 B m n 则由
11、BA l 得 n 6 m 6 1 又 B 到 l 距离为 2 m n 2 2 2 解出 m 2 n 2 故其方程为 x 2 2 y 2 2 2 三 解答题 本大题共 6 个大题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 求经过两点 A 1 4 B 3 2 且圆心 C 在 y 轴上的圆的方程 解析 AB 的中点是 1 3 kAB 4 2 1 3 1 2 AB 的垂直平分线方程为 y 3 2 x 1 即 2x y 1 0 学 海 无 涯 令 x 0 得 y 1 即圆心 C 0 1 所求圆的半径为 AC 12 4 1 2 10 所求圆的方程为 x2 y 1 2
12、 10 18 本小题满分 12 分 2012 2013 宁波高一检测 如图 正方 体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a M 为 BD1的中点 N 在 A1C1上 且 A1N 3 NC1 试求 MN 的长 解析 以 D 为原点建立如图所示坐标系 则 B a a 0 A1 a 0 a C1 0 a a D1 0 0 a 由于 M 为 BD1的中点 所以 M a 2 a 2 a 2 取 A1C1 中点 O1 则 学 海 无 涯 O1 a 2 a 2 a 因为 A1N 3 NC1 所以 N 为 O1C1的中点 故 N a 4 3 4a a 由两点间的距离公式可得 MN a 2 a 4 2 a 2
13、 3 4a 2 a 2 a 2 6 4 a 规律总结 空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过 距离公式求解 19 本小题满分 12 分 已知直线 x my 3 0 和圆 x2 y2 6x 5 0 1 当直线与圆相切时 求实数 m 的值 2 当直线与圆相交 且所得弦长为2 5 10时 求实数 m 的值 解析 1 圆 x2 y2 6x 5 0 可化为 x 3 2 y2 4 圆心 为 3 0 直线 x my 3 0 与圆相切 3 3 1 m2 2 解得 m 2 2 2 圆心 3 0 到直线 x my 3 0 的距离 d 6 1 m2 学 海 无 涯 由2 5 10 24 6 1 m2 2得 2
14、2m2 20m2 160 解得 m2 9 故 m 3 20 本小题满分 12 分 已知点 M x0 y0 在圆 x2 y2 4 上运动 N 4 0 点 P x y 为线段 MN 的中点 1 求点 P x y 的轨迹方程 2 求点 P x y 到直线 3x 4y 86 0 的距离的最大值和最小值 解析 1 点 P x y 是 MN 的中点 x x 0 4 2 y y0 2 故 x0 2x 4 y0 2y 将用 x y 表示的 x0 y0代入到 x20 y20 4 中得 x 2 2 y2 1 此 式即为所求轨迹方程 2 由 1 知点 P 的轨迹是以 Q 2 0 为圆心 以 1 为半径的圆 点 Q
15、到直线 3x 4y 86 0 的距离 d 6 86 32 42 16 故点 P 到直线 3x 4y 86 0 的距离的最大值为 16 1 17 最 小值为 16 1 15 21 本小题满分 12 分 如图所示 l1 l2是通过某城市开发区中 心 O 的两条南北和东西走向的街道 连接 M N 两地之间的铁路线 学 海 无 涯 是圆心在 l2上的一段圆弧 点 M 在点 O 正北方向 且 MO 3 km 点 N 到 l1 l2的距离分别为 4 km 和 5 km 1 建立适当的坐标系 求铁路线所在圆弧的方程 2 若该城市的某中学拟在点 O 正东方向选址建分校 考虑到环 境问题 要求校址到点 O 的距
16、离大于 4 km 并且铁路线上任意一点 到校址的距离不能小于 26 km 求校址距离点 O 的最近距离 注 校址视为一个点 解析 1 以城市开发中心 O 为原点 分别以 l2 l1为 x 轴 y 轴 建立平面直角坐标系 根据题意 得 M 0 3 N 4 5 故 kMN 5 3 4 0 1 2 MN 的中点为 2 4 线段 MN 的垂直平分线方程为 y 4 2 x 2 令 y 0 得 x 4 故圆心 A 的坐标为 4 0 半径 r 4 0 2 0 3 2 5 圆 A 的方程为 x 4 2 y2 25 MN 的方程为 x 4 2 y2 25 0 x 4 3 y 5 学 海 无 涯 2 设校址选在点 B a 0 a 4 则 x a 2 y2 26时 0 x 4 恒成立 又 y2 25 x 4 2 所以 8 2a x a2 17 0 对 0 x 4 恒成立 令 f x 8 2a x a2 17 a 4 8 2a 0 f x 在 0 4 上为减函数 要使 恒成立 当且仅当 a 4 f 4 0 时 即 a 4 8 2a 4 a2 17 0 a 5 即校址距离点 O 的最近距离为 5 km 22 本
