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1、 2 2 1椭圆及其标准方程 第一课时 嫦娥二号 于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空 自然界处处存在着椭圆 我们如何用自己的双手画出椭圆呢 先回忆如何画圆 如何定义椭圆 圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆 椭圆的定义 平面上到两个定点的距离的和 2a 等于定长 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距 2c 椭圆定义的文字表述 椭圆定义的符号表述 1 改变两图钉之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两图钉之间的距离吗 1 改变两图钉之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是
2、椭圆吗 2 绳长能小于两图钉之间的距离吗 回忆求曲线方程推导步骤 提出了问题就要试着解决问题 怎么推导椭圆的标准方程呢 求动点轨迹方程的一般步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 2 写出适合条件P M 3 用坐标表示条件P M 列出方程 4 化方程为最简形式 坐标法 探讨建立平面直角坐标系的方案 方案一 原则 尽可能使方程的形式简单 运算简单 一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 对称 简洁 x 设P x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距 F1F2 2c c 0 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 P与F1和F2的距离的和为固定
3、值2a 2a 2c 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 由于 得方程 两边除以得 由椭圆定义可知 整理得 两边再平方 得 移项 再平方 椭圆的标准方程 刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 由于 得方程 Y 椭圆的标准方程的特点 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 2 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 3 由椭圆的标准方程可以求出三个参数a b c的值 反之求出a b c的值可写出椭圆的标准方程 4 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点就在哪
4、一个轴上 并且哪个大哪个就是a2 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 再认识 则a b 则a b 5 3 4 6 口答 则a b 则a b 3 例1 求下列椭圆的焦点坐标 以及椭圆上每一点到两焦点距离的和 解 椭圆方程具有形式 其中 因此 两焦点坐标为 椭圆上每一点到两焦点的距离之和为 练习1 下列方程哪些表示椭圆 若是 则判定其焦点在何轴 并指明 写出焦点坐标 两个焦点分别是 2 0 2 0 且过点P 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 法一 c 2 法二 c 2 设椭圆标准方程为 2a P P 1 求适合下列条件的椭圆方程 1 a 4 b 3 焦点在x轴上 2 b 1 焦点在y轴上 练习 3 若椭圆满足 a 5 c 3 求它的标准方程 如图 求满足下列条件的椭圆方程 解 椭圆具有标准方程 其中 因此 所求方程为 例3 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程 练习3 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆 则m的取值范围是 0 4 变1 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆 则m的取值范围是 1 2 小结 求椭圆标准方程的方法 求美意识 求简意识 前瞻意识 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 作业 42练习题1 2 3 4 49习题 第2题 课时练 再见
