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1、概率论与数理统计复旦大学出版社第三章课后答案 概率论与数理统计 习题三 答案1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解】 X 的可能取值为：0，1，2，3； Y 的可能取值为：0，1. X 和 Y 的联合分布律如下表： 0 1 2 3 XY1 301 1 1 3 C1 ? ? 3? ? 2 2 2 801 1 2 1 C3 ? ? ? ? 3/8 2 2 2001 81 1 1 1 ? ? ? 2 2 2 82.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球
2、，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律. 【解】 X 的可能取值为：0，1，2，3； Y 的可能取值为：0，1，2. X 和 Y 的联合分布律如下表：X Y0 01 022 2 C3 ?C2 3 ? 4 C7 35 2 C3 ?C1 C1 12 2? 2 ? 4 C7 35 2 2 C3 ?C2 3 ? 4 C7 3530C3 C1 2 3? 2 ? 4 C7 35 C3 C1 2 3? 2 ? 4 C7 35010C1 C1 C2 6 3? 2? 2 ? 4 C7 35 C1 C2 C1 6 3? 2? 2 ? 4 C7 352C2 C2 1
3、 2? 2 ? 4 C7 353.设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为 ? ?sin x sin y, 0 ? x ? , 0 ? y ? F ( x, y ) ? ? 2 2 ? ?0, 其它求二维随机变量 ( X , Y ) 在长方形域 ?0 ? x ? 【解】如图 P0 ? X ? ? , ? y? 4 6? ? 内的概率. 3? , ? Y ? 公式(3.2) 4 6 3 F ( , ) ? F ( , ) ? F (0, ) ? F (0, ) 4 3 4 6 3 6 ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin 0? sin ? sin 0? sin
4、4 3 4 6 3 6 2 ? ( 3 ? 1). 4题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量 ( X , Y ) 的分布密度? Ae? (3 x ?4 y ) , x ? 0, y ? 0 f ( x, y) ? ? ?0, 其他求： （1） 常数 A ； （2） 随机变量 ( X , Y ) 的分布函数； （3） P0X1，0Y2. 【解】 （1） 由? ?f ( x, y )dxdy ? ?0?0Ae-(3 x ? 4 y ) dxdy ?A ?1 12A =12 ? 得 （2） 由定义，有F ( x, y) ? ?y? ?xf (u, v)dudvy ? 0, x
5、? 0, 其他y y ? (3u ? 4 v ) ? dudv ?(1 ? e?3 x )(1 ? e?4 y ) ?0 ?0 12e ? ? 0, ? ? 0, ? (3) P0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2 ? P0 ? X ? 1,0 ? Y ? 2?10 0? 12e2? (3 x ? 4 y )dxdy ? (1 ? e?3 )(1 ? e?8 ) ? 0.9499.5.设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?k (6 ? x ? y ), 0 ? x ? 2, 2 ? y ? 4 f ( x, y ) ? ? ?0, 其它（1） 确定常数 k ； （2） 求 PX1，
6、Y3； （3） 求 PX1.5； （4） 求 PX+Y4. 【解】 （1） 由性质有? ?f ( x, y)dxdy ? ?20?42k (6 ? x ? y)dydx ?8k ? 1,故1 k? ? 8（2） P X ? 1, Y ? 3 ? ?1 013? ?3f ( x, y)dydx?(3) P X ? 1.5 ?x ?1.5?1 3 k (6 ? x ? y )dydx ? 8 8 f ( x, y )dxdy如图a ? f ( x, y )dxdy?2D1? ? dx ?01.5(4) P X ? Y ? 4 ?X ?Y ? 4 2?1 27 (6 ? x ? y )dy ? .
7、8 32 f ( x, y )dxdy如图b? f ( x, y )dxdy4 2 D2 4? x 2? ? dx ?01 2 (6 ? x ? y )dy ? . 8 3题5图 6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量， X 在（0，0.2）上服从均匀分布， Y 的密度函数 为?5e ?5 y , y ? 0, fY ( y ) ? ? 其它. ? 0,求： （1） X 与 Y 的联合分布密度； （2） P ?Y ? X ? .题6图 【解】 （1） 因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的概率密度函数为? 1 ? , 0 ? x ? 0.2, f X ( x) ? ? 0.
8、2 ? 其它. ?0,而?5e ?5 y , y ? 0, fY ( y ) ? ? 其它. ?0,所以f ( x ,y ) X Y , 独立 f X x( )fY* y ( )? 1 ? 5e?5 y ? 25e?5 y , 0 ? x ? 0.2, y ? 0 ? ? ? 0.2 ? ?0, 其它(2) P(Y ? X ) ?y?x? f ( x, y)dxdy如图? 25eD?5 ydxdy? ? dx ? 25e-5y dy ? ? (?5e?5 x ? 5)dx0 0 00.2x0.2=e ? 0.3679. 7.设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为-1?(1 ? e
9、?4 x )(1 ? e?2 y ), x ? 0, y ? 0, F ( x, y) ? ? 其他. ? 0,求（X，Y）的联合分布密度. 【解】 f ( x, y ) ? 2 F ( x, y ) ?8e ? (4 x ? 2 y ) , x ? 0, y ? 0, ? ?x?y 其他. ?0,8.设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?4.8 y(2 ? x), 0 ? x ? 1, 0 ? y ? x, f ( x, y) ? ? 其他. ? 0,求边缘概率密度. 【解】 X 的边缘概率密度为f X ( x) ? ?x 2 ? 0 ? x ?1 ?0 4.8 y(2 ? x)
10、dy ? 2.4 x (2 ? x), f ( x, y)dy ? ? ? ，其它 ?Y 的边缘概率密度为fY ( y) ? ?f ( x, y)dx? 1 4.8 y (2 ? x)dx ? 2.4 y (3 ? 4 y ? y 2 ), 0 ? y ?1 ? ? ? ?y ? ，其它 ?题8图 9.设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为题9图?e ? y , 0 ? x ? y f ( x, y) ? ? ?0，其它求边缘概率密度. 【解】 X 的边缘概率密度为f X ( x) ? ? ?y ?x ? ?x e dy ? e , x ? 0 f ( x, y)dy ? ? ? ?
11、0, 其它Y 的边缘概率密度为?y ?y ?x ? ?0 e dx ? ye , y ? 0 f ( x, y)dx ? ? ? ?0, 其它fY ( y) ? ?题 10 图 10.设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?cx 2 y, x 2 ? y ? 1 f ( x, y) ? ? ?0，其它（1） 试确定常数 c ； （2） 求边缘概率密度. 【解】 （1）? ?f ( x, y )dxdy如图? f ( x, y )dxdyD= ? dx ? 2 cx 2 ydy ?-1 x114 c ? 1. 21得? c ?21 . 4(2) f X ( x) ?f ( x, y)d
12、y21 2 ? 1 21 2 4 ?x2 x ydy = x (1 ? x ), ?1 ? x ? 1 ? 4 8 ? ?0, 其它fY ( y) ? ?f ( x, y)dx? y 21 2 7 5 x ydx ? y 2 , 0 ? y ? 1 ? ? ? y 4 2 ?0, 其它 ?11.设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为?1, y ? x, 0 ? x ? 1 ? f ( x, y ) ? ? ? ?0, 其它求条件概率密度 fY X ( y x) ， f X Y ( x y) .题 11 图 【解】 f X ( x) ? ? 1dy ? 2 x, 0 ? x ? 1, f
13、( x, y)dy ? ? x ? 其他. ?0,xfY ( y ) ? ? 1 1dx ? 1 ? y, ?1 ? y ? 0, ? ? y ? ? 1 f ( x, y )dx ? ? ? 1dx ? 1 ? y, 0 ? y ? 1, y ? 其他. ?0, ? ?所以?1 f ( x, y ) ? , | y |? x ? 1, fY | X ( y | x ) ? ? ? 2x f X ( x) ? 其他. ?0,? 1 ?1 ? y , y ? x ? 1, ? f ( x, y ) ? 1 f X |Y ( x | y ) ? ? , ? y ? x ? 1, fY ( y ) ?1 ? y ?0, 其他. ? ?12.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X ，最 大的号码为 Y . （1） 求 X 与 Y 的
