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1、在教学活动中培养学生初步代数思维的实践研究开题报告江西省九江小学 万里春 在教学活动中培养学生初步代数思维的实践研究是应用型研究课题。新课程改革加强了学段间的联系，作为数学“核心思想”的代数思维教学，最早是在第二学段以“式与方程”的内容呈现在学生面前。此阶段学习主要是为了让学生尽早体会代数思维的特点，熟悉代数处理问题的方法，促进学生逻辑思维能力的发展，更好地实现与初中数学的衔接。本课题旨在这一过程中，了解学生学习代数知识的真实困难，并以此为切入点，围绕着“设计怎样的活动才能有效促进对代数思维的感悟和理解”开展实践研究，试图在理论层面和实践层面形成有效的教学方法和策略。1、 研究背景 （一）研究
2、的现实意义1 基于时代发展的要求随着“数字化时代”的到来，中小学数学教育突出了与计算机技术密切相关的算法思想，更为进一步的凸显了代数思维在中小学数学教育中的重要地位和作用。Zalman usiskin在谈到为“所有人的代数”时指出：“将来代数-微积分序列在解决问题时，将很少注意到代数的技巧，因为通过便携式机器和预编程序软件就能做到这些事情。但是却需要提高对代数两个方面的重视：能够被应用的代数、函数和微积分；代数作为概括和函数关系的一种交流语言的重要性毫无疑问，将来的代数很少包含技能特性，而更多包含应用和标识特性。3”除了能解决实际问题外，数与代数还提供了“运用数量进行思考”的思维方式，这种强有
3、力的思维方式在现代社会中普遍适用。事实上，不仅是科技领域，人们在日常生活、工作甚至人文领域的研究中也越来越依靠定量化的思考3。作为学生启蒙教育的小学教师，应该学会用世界的眼光来观照自己的教育教学，有意识地发展学生早期的代数思维，丰富学生的数学思想。2 基于教与学的需要数与代数是义务教育阶段数学课程的重要内容。其中代数部分的内容包括：方程、方程组、不等式和函数等。这些知识与学生的日常生活、现实世界和其他学科有着十分密切的联系，它所包含的主要内容都是研究现实世界数量关系和变化规律的教学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界3。对于小学生而言，数的概念是认识和理解数
4、的开始，数对于它所代表的具体事物来说是抽象的，而式与方程的出现，则是数及其运算的进一步抽象。再加上用字母表示数、表示数量关系的高度抽象性等诸多因素的影响，他们接受代数思想存在不少困难。从算术思维向代数思维的过渡，是学生认知上的一次挑战。 （二）学生学习现状分析学生在第一学段已经习惯了算术思维，他们的符号意识尚不完备。而代数思维具有高度的抽象性，而且运用代数知识解决问题，需要颠覆他们以前的一些观念，寻找一种与原先思维逆向思考的代数思维方式进行思考，可谓困难重重。例如，在教学字母表示数一课，当用“数青蛙”的情境导入新课，问到：“你能用一句话表示这首儿歌吗？”经常会有学生说：“a只青蛙b张嘴。”分析
5、：这是因为学生的符号意识不够完备，不能认识到字母表示的量可以存在着关系。再如，借助“淘气和妈妈的年龄”这一情境，引导学生得出：当淘气a岁时，妈妈的年龄是a+26岁，会有学生提出问题：“那么a+26到底等于多少？”分析：这是因为学生对于运算客体的扩充无所适从。如代数式中的a+b即可被视为a和b相加的运算过程，也可被视为一个运算结果。再如右图所示，在教学方程一课时，学生根据图意列出方程时出现诸多错误，都说明学生如果只是从定义上认识方程，他们的理解是不深刻的，他们还需要经历一定的过程，才能真正认识到方程是刻画现实世界中相等关系的重要模型。由上可见，学生从算术思维到代数思维的转化是有一定的困难的。对于
6、学生而言，符号的使用只是进入代数思维的第一步。真正要走进代数思维，凭借的是支撑在符号背后的代数思想。其实，小学阶段解决的数学问题相对比较简单，学生感受不到代数思维的优越性，很多学生即使学了“式与方程”，仍不喜欢用方程的思想解决问题。笔者对本校169名即将毕业的六年级学生进行了一次调研问卷，以下是调研结果。1. 平时解决问题，你喜欢用算术法还是方程？为什么？ 对这个问题，有113名学生说喜欢用算术法，理由诸如：简单方便；好理解；不会列方程；实在不会做才考虑用方程；方程解题要写解设太麻烦只有少数学生写道：两种方法各有优势。2. 你在列方程解应用题时，遇到过什么问题或麻烦吗？ 对这个问题，孩子们反映
7、比较多的问题或麻烦是：找不到等量关系；不知道设谁为x;不会列式；有时候列出了方程又不会算；忘记写“解”字由上可知，孩子即使到了六年级，对方程的理解和运用仍有诸多困扰。（三）问题的提出正如壮惠铃、孙玲在从算术思维到代数思维文中所说：代数思维的培养并不是一个经历足够多的练习便可跨越的量变过程，而是必须经历数与代数的抽象、运算与建模等结构转换才能实现的质变过程5。那么，这是一个怎样的质变过程？小学生是怎样理解“用字母表示数”、“方程”的？设计怎样的教学活动能有效促进从算术思维到代数思维的过渡？对这些问题的思考与决策，将有助于教师以学定教、顺学而导，在教学活动中培养学生初步的代数思维。2、 文献综述研
8、究期间，我们查阅了大量文献资料。国内外学者对代数思维从不同层面给出了解释，并且都强调了培养早期代数思维的重要性。很多专家通过调研分析，还阐述了关系性思维的发展与代数思维发展的密切联系。笔者对其中一些有代表性的观点作了梳理。1.什么是代数思维？（1）徐文彬教授在试论算术中的代数思维：准变量表达式中指出：“算术主要是由程序思维来刻画的。也即算术程序思维的核心是获取一个（正确的）答案，以及确定获取这个答案与验证这个答案是否正确的方法；而代数思维则是由关系或结构来描述的，它的目的是发现（一般化）的关系、明确结构，并把它们连接起来11。”（2）张丹教授在小学数学教学策略一书中指出：“代数思维的基本特征是
9、用符号表示规律，表示量与量之间的相等、不等和变化关系；通过符号与符号之间的运算来一类一类解决问题，进行一般性的运算和推理3。”（3）壮惠铃、孙玲教授撰写的从算术思维到代数思维文章中指出：“从数学角度来看，算术思维是程序性的，着重的是利用数量的计算求出答案的过程。这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点，甚至是直观的。而代数思维是结构性的，侧重的是关系的符号化及其运算，是无法依赖直观的5。”（4）杨光胜老师在培养学生的代数思维，提高教学效率一文中指出：“代数思维就是用某个简单形式符号代替具体数字或者一大串数字和字母的组合的思维。代数思维的核心思想就是追求形式上的一致，而不管具体符号是什么，只要形
10、式一致，就可以认为这些符号表示的含义一致。” 10 2. 什么是关系性思维？（1）张晓霞与宋敏教授合撰的小学生关系性思维的测试与分析文章中指出：“关系性思维即是指学生有联系地进行思考。这里的联系，就数或含字母的等式而言，表现为：将等号作为代表等量或平衡关系的符号看待；将表达式和等式看作整体；不采用常规的计算，而是通过比较，识别出数之间的相互联系；合理利用关系来解决问题。这种思维需要对表达式和等式结构给予充分的关注。”文章还指出：“在低年级教学中有意识的培养学生的关系性思维，有助于学生从算术学习到代数学习的过渡”。（2）华东师大王旭教授在撰写的关系性思维中的一些重要关联文章中，介绍了他们对中国和
11、澳大利亚6-7年级学生进行的问卷调查和研究，基于学生回答将关系性思维分为三类，即稳固的关系性思维、有待加强的关系型思维和突然出现的关系性思维，并作了细致阐述，提出了教学建议。3.其他的一些重要观点。（1）在试论算术中的代数思维：准变量表达式一文中，作者指出：“在卡彭特和利维的研究中，他们曾给一、二年级的小学生介绍过“数字语句”的真假问题。即“7849+49”是不是一个真语句。有专家把数字的这种运用定义为准变量（表达式）。”作者还说：“在算术教学中可以运用准变量对小学生进行代数思维的培养，并且有可能降低他们学习代数的困难。”（2）在从算术思维到代数思维一文中，作者指出：“在算术思维中，表达式是一
12、种思考的记录，是直接联接题目与答案的桥梁。在代数思维中，表达式不再是直接联接题目与答案之间的过程记录，同时也充当一个问题转译的角色。因此，从代数思维的角度来看，解情境问题的过程被分成两部分，即列式与求式子的解。这一符号化、抽象化以及概括化的思维过程是建立在算术思维基础之上而又需要超越算术思维的过程。5”作者还说：“从算术思维向代数思维过渡，学生可能面对如下困难：符号意义的不连续，即有些学生尚未将等号视为一种等价关系；运算客体的扩充，如代数式中的a+b即可被视为a和b相加的运算过程，也可被视为一个运算结果；程序性逆向思维的惯性作用，即学生需要一种与原先思维逆向的思考方式解决问题所造成的混淆。5”
13、因此，“要顺利完成过渡，学生的思维必须经历从数字到符号、从特殊到一般、从程序到结构的飞跃。5”文献梳理之后，上述观点对我启发很大。结合对研究问题的思考，我们确定了如下的研究思路（研究流程）。三、课题的理论依据1.建构主义学习理论建构主义学习理论强调：学习是主观经验系统的变化（重组、转化或改造）。学习时，学习者不是像接受东西一样在接受客观的知识，而是在积极主动地建构对知识的理解。这种建构是在主客体交互作用的过程中进行的。每一个学习者都是在自己先前经验（包括学科知识、日常生活经验、学习风格、态度、价值观等）的基础上，以其特殊的方式，来建构对新信息、新现象、新事物、新问题的理解形成个人的意义。因此，
14、教学要为学习者创设理想的学习环境、促进学习者的主动建构过程。2.有意义学习理论奥苏贝尔的有意义学习理论的核心是：学生能否获得新信息，主要取决于他们认知结构中已有的有关概念；有意义学习是通过新信息与学生认知结构中已有的有关概念的相互作用才得意发生的；由于这种相互作用的结果，导致了新旧知识的同化。因此，我们的教学必须尽可能多的呈现出能够与学生原有认知结构中有关联、有价值的学习材料，促进学生的有意义学习。3.情境认知与学习理论情境认知与学习理论以其深刻广泛的理论基础，成为90年代学习理论领域研究的主流。这一理论关于知识与学习的相关观点如下：情境是一切认知活动的基础；心理与环境的互动不仅发生在高度机械
15、的任务中，而且也发生在一些日常任务之中；知识是一种高度基于情境的实践活动，是个体与环境交互作用过程中建构的一种交互状态；学习是一种文化适应，将学习者的参与视作学习的关键成分和重要特征，并要求学习者通过理解和经验的不断地相互作用，在不同情境中进行知识的有意义协商，获得意义和身份的建构。在情境认知与学习理论指导下的教学活动，不仅能促进有意义学习，而且有助于知识向真实生活情景的迁移。4.新课程理论。义务教育数学课程标准 2011年版指出：义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现教学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。四、研究目标、内容、对象1研究目标本课题研究是以新课标与教育科学理念为指导，遵循学生的年龄、学习特征以及教学内容的特点，设计并实施“有过程、有意义”的教学活动，发展学生的关系性思维、符号意识、模型思想以及初步的代数思维。并在这一过程中提高教师的教育科研能力，让课堂教学成就师生共同的精彩。 在理论层面上，试图通过本课题研究，不断探索、反思和总结，形成一套行之有效的培养代数初步思维的教学策略、案例等，提出有价值的教学
