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1、第二章 导数与微分2-1 导数的概念一、引例1变速直线运动的速度问题：设某一物体作非匀速运动, 时刻物体的坐标为，与的函数关系为，求物体在时刻的速度 分析：物体在时间间隔内的平均速度为如果较短，这个比值在实践中也可用来说明物体在时刻的速度，但这样做是不精确的，更准确地应当令取比值的极限，即 这时就把这个极限值v称为物体在时刻的速度。2曲线的切线问题设在曲线上有一点M及点M外另一点N，作割线MN。当点N沿曲线移动而趋近于点M时，如果割线MN趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线在点M处的切线。割线MN的斜率为，其中为割线MN的倾角。当点N沿曲线趋于点M时，即时，上式的极限存在，则存在，则此极限是割
2、线斜率的极限，也就是切线的斜率。 二、导数的概念1函数在某点处的导数定义：设函数在点的某邻域内有定义，当自变量取得增量时，相应地因变量y取得增量，如果存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为或，即 如果极限不存在，就说函数在点处不可导。不可导的原因是由于，也往往说函数在点处的导数为无穷大。2.导函数定义：如果函数在开区间内的每点处都可导，则称函数在开区间内可导，对于任一都有确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，此函数称为原来函数的导函数，记作 ，或。3. 与之间的关系函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即4.可导的充要条件 在的左导数： 在的右导数:可导的
3、充要条件：三、导数公式求导数的步骤：1.求 2.求 3.求例1：求（C为常数）的导数解：即例2：求 (n为正整数)的导数解： 即例3：求的导数解：即，同理可得例4：求的导数解： 即，也可推得例5：求的导数解： 即，特殊情况四、函数的可导性与连续性的关系定理：若函数在点处可导，则它在点处一定连续。 例：求在处的导数解： 由于，则函数在不可导注：一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。2-2 函数的求导法则如果函数及在点处可导，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点具有导数，且例1：, 求解：例2：，求解： 即，同理可得例3：，求解：即，同理可得2-3 导数运算一、反函数的导数定理：设
4、函数在处有不等于零的导数，且反函数在相应点处连续，则反函数的导数存在，且或例：，求解：为反函数 即，同理可得例2：，求解：为反函数 即，同理可得二、复合函数的求导法则定理：如果函数在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为或例1：，求解：函数可看作是由和复合而成的，因此 例2：，求解：函数是由和复合而成的，因此 注：复合函数的导数熟练后，可不必写出复合结构 例3：，求解：例4：，求解： 注：复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情况，设，则例5：，求解： 例6：，求解： 注：复合函数组合成的函数，求导时应先用四则运算法则，后用复合函数求导法则。例7：，求解：例8：，求解：注：复合函
5、数中包含抽象函数，求导时仍逐层求导，将其看成其中的层即可。 三、隐函数的导数1.隐函数求导法显函数：形如的函数称为显函数。例如：隐函数：由方程所确定的函数称为隐函数。例如：隐函数的显化：把一个隐函数化成显函数。隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数。因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。隐函数求导法：求的导数，一般将方程两边同时对自变量求导数，遇到时就将其看成关于的函数，利用复合函数求导法则求导，最后从所得关系式中解处例1：求由方程所确定的隐函数的导数解：方程两边对求导：，则例2：求由方程所确定
6、的隐函数的导数解：方程两边分别对求导： 则例3：求椭圆在处的切线方程解：把椭圆方程的两边分别对求导：则 切线的斜率： 所求的切线方程：，即2.对数求导法方法：先在的两边取对数，然后再求出y的导数。使用范围：适用于求幂指函数的导数及多因子之积和商的导数例1：求的导数解：两边取对数：上式两边对求导：则 例2：求函数的导数解：先在两边取对数：上式两边对求导：则四、由参数方程所确定的函数的导数 设y与x的函数关系是由参数方程确定的，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数。方法：设为的反函数，原参数方程可看做的复合函数，则例1：函数由参数方程确定，求解：例2：计算由摆线的参数方程所确定的函数
7、的导数解： 五、高阶导数 一般地，函数的导数仍然是的函数，我们把的导数称为函数的二阶导数，记作，或类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数；三阶导数的导数叫做四阶导数。一般地，(n-1)阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作，或，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。例1：，求解：， 例2：，求解：，例3：，求解： 同理可得：例4：，求解： ， ，2-4 微分一、微分的概念引例：一个正方形其边长由变到，问其面积改变了多少？解：设此正方形的面积为，显然面积的改变量为当时，是高阶的无穷小，即，则由于，则定义：设在点处有导数，则称为在点处的微分，记作或，即，此时称在点处可微。特别地，对于函数，有，即自变量的
8、微分就是它的增量，则，进一步有，则导数也是函数的微分与自变量微分之商，即导数的微商。二、微分的几何意义当是曲线上的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量，当时，近似等于，即微分表示曲线在一点处切线纵坐标的该变量。三、微分的运算1基本初等函数的微分公式，2运算法则例：，求解：3复合函数的微分法则设，都可微，则复合函数可微，且由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变。这一性质称为微分形式不变性。例1：，求解：例2：，求解： 四、微分的应用如果函数在点处的导数，且时，有由于，则例1：计算的近似值解：设， 由公式可得：例2：有一个半径为1cm的球，要在其表面镀上一层厚度为0. 01cm铜，试估算一下需用多少克铜(铜的密度是8. 9g/cm 3)？解：已知球体体积为，镀层的体积为则需用的铜约为2误差估计绝对误差与相对误差：如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|叫做a的绝对误差，而绝对误差|A-a|与|a|的比值叫做a的相对误差。
