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1、第 2 课时对数的运算 课时目标1 掌握对数的运算性质及其推导 2 能运用对数运算性质进行化简 求值和 证明 3 了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数 1 对数的运算性质 如果 a 0 且 a 1 M 0 N 0 那么 1 loga M N 2 logaM N 3 logaM n n R 2 对数换底公式 logab logcb logca a 0 且 a 1 b 0 c 0 且 c 1 特别地 logab logba a 0 且 a 1 b 0 且 b 1 一 选择题 1 下列式子中成立的是 假定各式均有意义 A logax logay loga x y B logax
2、 n nlog ax C log ax n loganx D log ax logay log ax logay 2 计算 log916 log881 的值为 A 18 B 1 18 C 8 3 D 3 8 3 若 log51 3 log36 log6x 2 则 x 等于 A 9 B 1 9 C 25 D 1 25 4 已知 3 a 5b A 若1 a 1 b 2 则 A 等于 A 15 B 15 C 15 D 225 5 已知 log89 a log25 b 则 lg 3 等于 A a b 1 B 3 2 b 1 C 3a 2 b 1 D 3 a 1 2b 6 若 lg a lg b 是方程
3、 2x 2 4x 1 0 的两个根 则 lga b 2 的值等于 A 2 B 1 2 C 4 D 1 4 题号123456 答案 二 填空题 7 2log510 log50 25 3 25 125 4 25 8 lg 5 2 lg 2 lg 50 9 2008 年 5 月 12 日 四川汶川发生里氏8 0 级特大地震 给人民的生命财产造成了巨大的 损失 里氏地震的等级最早是在1935 年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的 它 与震源中心释放的能量 热能和动能 大小有关 震级 M 2 3lg E 3 2 其中 E 焦耳 为以地 震波的形式释放出的能量 如果里氏 6 0级地震释放的能量相当于1
4、颗美国在二战时投放 在广岛的原子弹的能量 那么汶川大地震所释放的能量相当于 颗广岛原子弹 三 解答题 10 1 计算 lg 1 2 lg 5 8 lg 12 5 log 89 log34 2 已知 3 a 4b 36 求2 a 1 b的值 11 若 a b 是方程 2 lg x 2 lg x4 1 0 的两个实根 求 lg ab log ab logba 的值 能力提升 12 下列给出了x 与 10 x 的七组近似对应值 组号一二三四五六七 x 0 301 030 477 110 698 970 778 150 903 091 000 001 079 18 10 x 235681012 假设在
5、上表的各组对应值中 有且仅有一组是错误的 它是第 组 A 二B 四 C 五D 七 13 一种放射性物质不断变化为其他物质 每经过一年的剩余质量约是原来的75 估计 约经过多少年 该物质的剩余量是原来的 1 3 结果保留 1 位有效数字 lg 2 0 301 0 lg 3 0 477 1 1 在运算过程中避免出现以下错误 loga MN logaM logaN logaM N logaM logaN logaN n log aN n logaM logaN loga M N 2 根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式 logab logcb logca a 0 且 a 1 c 0 且 c
6、1 b 0 由对数换底公式又可得到两个重要结论 1 logab logba 1 2 log n m a b m n logab 3 对于同底的对数的化简常用方法 1 收 将同底的两对数的和 差 收成积 商 的对 数 2 拆 将积 商 的对数拆成两对数的和 差 对于常用对数的化简要创设情境 充 分利用 lg 5 lg 2 1 来解题 第 2 课时对数的运算 知识梳理 1 1 logaM logaN 2 logaM logaN 3 nlogaM2 1 作业设计 1 C 2 C log916 log881 lg 16 lg 9 lg 81 lg 8 4lg 2 2lg 3 4lg 3 3lg 2 8
7、 3 3 D 由换底公式 得 lg 3 lg 5 lg 6 lg 3 lg x lg 6 2 lg x 2lg 5 x 5 2 1 25 4 B 3 a 5b A 0 a log3A b log5A 由 1 a 1 b log A3 logA5 logA15 2 得 A2 15 A 15 5 C log89 a lg 9 lg 8 a log23 3 2a lg 3 log23 log210 log23 1 log25 3a 2 b 1 6 A 由根与系数的关系可知lg a lg b 2 lg alg b 1 2 于是 lga b 2 lg a lg b 2 lg a lg b 2 4lg a
8、lg b 22 4 1 2 2 7 6 5 3 解析原式 2 log510 log50 5 3 25 4 25 125 4 25 2log5 10 0 5 2131 3222 55 2 1 6 5 5 6 5 3 8 1 解析 lg 5 2 lg 2 lg 50 lg 5 2 lg 2 lg 5 lg 10 lg 5 2 lg 2 lg 5 lg 2 lg 5 lg 5 lg 2 lg 2 lg 5 lg 2 1 9 1 000 解析设里氏 8 0 级 6 0 级地震释放的能量分别为E2 E1 则 8 6 2 3 lg E 2 lg E1 即 lg E2 E1 3 E2 E1 10 3 1 0
9、00 即汶川大地震所释放的能量相当于1 000 颗广岛原子弹 10 解 1 方法一lg 1 2 lg 5 8 lg 12 5 log89 log34 lg 1 2 8 5 12 5 2lg 3 3lg 2 2lg 2 lg 3 1 4 3 1 3 方法二lg1 2 lg 5 8 lg 12 5 log89 log34 lg1 2 lg 5 8 lg 25 2 lg 9 lg 8 lg 4 lg 3 lg 2 lg 5 3lg 2 2lg 5 lg 2 2lg 3 3lg 2 2lg 2 lg 3 lg 2 lg 5 4 3 1 4 3 1 3 2 方法一由 3 a 4b 36 得 a log
10、336 b log436 所以 2 a 1 b 2log 363 log364 log36 3 2 4 1 方法二因为 3a 4 b 36 所以 1 36a 3 1 36b 4 所以 1 36 a 2 1 36 b 32 4 即 21 36a b 36 故 2 a 1 b 1 11 解原方程可化为2 lg x 2 4lg x 1 0 设 t lg x 则方程化为2t2 4t 1 0 t1 t2 2 t1 t2 1 2 又 a b 是方程 2 lg x 2 lg x4 1 0 的两个实根 t1 lg a t2 lg b 即 lg a lg b 2 lg a lg b 1 2 lg ab loga
11、b logba lg a lg b lg b lg a lg a lg b lg a lg b lg b 2 lg a2 lg a lg b lg a lg b lg a lg b 2 2lg a lg b lg a lg b 2 2 2 2 1 2 1 2 12 即 lg ab logab logba 12 12 A 由指数式与对数式的互化可知 10 x N x lg N 将已知表格转化为下表 组号一二三四五六七 N 235681012 lg N 0 301 030 477 110 698 970 778 150 903 091 000 001 079 18 lg 2 lg 5 0 301
12、03 0 698 97 1 第一组 第三组对应值正确 又显然第六组正确 lg 8 3lg 2 3 0 301 03 0 903 09 第五组对应值正确 lg 12 lg 2 lg 6 0 301 03 0 778 15 1 079 18 第四组 第七组对应值正确 只有第二组错误 13 解设这种放射性物质最初的质量是1 经过 x 年后 剩余量是y 则有 y 0 75 x 依题意 得 1 3 0 75 x 即 x lg 1 3 lg 0 75 lg 3 lg 3 lg 4 lg 3 2lg 2 lg 3 0 477 1 2 0 301 0 0 477 1 4 估计约经过4 年 该物质的剩余量是原来的 1 3
