《备战2020年中考数学十大题型专练卷题型10二次函数的综合应用题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2020年中考数学十大题型专练卷题型10二次函数的综合应用题（83页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、题型10 二次函数的综合应用题一、解答题1如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PEx轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，P的坐标为：或或或.【分析】（1）将点A、D的坐标
2、分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2），即可求解；（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：；（2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为，即：则，设点P坐标为、则点，故有最大值，当时，其最大值为18；（3），当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为、则点，由题意得：，即：，解得或0或4（舍去0），则点P坐标为或或；当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为，设点P坐标为、则点，N、C，M
3、、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：，解得：或（舍去0），故点；故点P的坐标为：或或或【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系2已知二次函数的图象过点，点（与0不重合）是图象上的一点，直线过点且平行于轴于点，点（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点在线段的中垂线上；（3）设直线交二次函数的图象于另一点，于点，线段的中垂线交于点，求的值；（4）试判断点与以线段为直径的圆的位置关系【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）点在以线段为
4、直径的圆上【分析】（1）把点代入函数表达式，即可求解；（2），即，又,即可求解；（3）证明、，即，即，即可求解；（4）在中，由（3）知平分，平分，则，即可求解【详解】解：（1）的图象过点，即，；（2）设二次函数的图象上的点，则，即，又，即，点在线段的中垂线上；（3）连接，在线段的中垂线上，又，连接，又在和中，在的图象上，由（2）结论知，即，即，；（4）在中，由（3）知平分，平分，点在以线段为直径的圆上【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证明、R是本题解题的关键3如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC，（1）求
5、抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且POB=ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E,求DE的最大值.点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？【答案】（1）；（2）点P坐标为或或或；（3）当时，最大值为4，当或时，四边形MDNF为矩形.【分析】（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x+3）；由OC=OB=3得C（0，-3），代入交点式即求得a=-1（2）由POB=ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得RtPO
6、H，故可过点A在BC边上作垂线AG，构造ACGPOH利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出设点P横坐标为p，则OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论得到用p表示OH与PH并代入OH=2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标（3）用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式设D横坐标为t，把x=t代入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、t表示的DE的长，把m当常数，对未知数t进行配方，即得到当t=m+2时，DE取得最大值由矩形MDNF得MN=DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横坐标为m+2由得d=
7、m+2时，DE=4，所以MN=8用两点间距离公式用m表示MN的长，即列得方程求m的值【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0）设交点式y=a（x+1）（x+3）OC=OB=3，点C在y轴负半轴C（0，-3）把点C代入抛物线解析式得：3a=-3a=-1抛物线解析式为y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3（2）如图1，过点A作AGBC于点G，过点P作PHx轴于点HAGB=AGC=PHO=90ACB=POBACGPOHOB=OC=3，BOC=90ABC=45，ABG是等腰直角三角形OH=2PH设P（p，-p2-4p-3）当p-3或-1p0时，点P在点B左侧或在AC之间
8、，横纵坐标均为负数OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3-p=2（p2+4p+3）解得：或当-3p-1或p0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号p=2（p2+4p+3）解得：p1=-2，p2=-P（-2，1）或综上所述，点P的坐标为或或或；（3）如图2，x=m+4时，y=-（m+4）2-4（m+4）-3=-m2-12m-35M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）设直线MN解析式为y=kx+n解得：直线MN：y=（-2m-8）x+m2+4m-3设D（t，-t2-4t-3）（mtm+4）DEy轴xE=xD=t，E（t，（-2m-8）t+m2+4m-
9、3）DE=-t2-4t-3-（-2m-8）t+m2+4m-3=-t2+（2m+4）t-m2-4m=-t-（m+2）2+4当t=m+2时，DE的最大值为4如图3，D、F关于点E对称DE=EF四边形MDNF是矩形MN=DF，且MN与DF互相平分DE= MN，E为MN中点由得当d=m+2时，DE=4MN=2DE=8（m+4-m）2+-m2-12m-35-（-m2-4m-3）2=82解得：m的值为或时，四边形MDNF为矩形【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质第（3）题没有图要先根据题意画草图
10、帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算4如图，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.求抛物线的函数表达式；若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】；当 ，MANB= ，此时；存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MHx轴于H，交直线AB于K，求出直线
11、AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=-1，c=3，此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MHx轴于
12、H，交直线AB于K，将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，解得，k=1，b=1，yAB=x+1，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-）2+，根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，SAMB最大=SAMK+SBMK=MKAH+MK（xB-xH）=MK（xB-xA）=3=，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大=2SAMB最大=2=，M（，）；（3）存在点F，y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，对称轴为直线x=1， 当y=0时，x1=-1，x2=3，抛物线与点
13、x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=-3=，CF=CH=，由题意可列：，解得，a=，F（1，）【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大5如图，抛物线yax2+bx（a0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，BAD的平分线AM交BC于点M，点N是C
14、D的中点，已知OA2，且OA：AD1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.【答案】（1）yx24x；（2）四边形MNGF周长最小值为12；（3）存在点P，P坐标为（6，6）；（4）抛物线平移的距离为3个单位长度.【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA2，且OA：AD1：3得AD6.由于四边形ABCD为矩形，故有ADAB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标.由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M，作点N关于y轴的对称点点N，得FMFM、GNG
