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1、第28章 整数的分拆28.18=3+5是两个不同素数之和，求最小自然数，使它能写成两种不同形式的两个不同素数之和.28.2不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少?28.38分和15分的邮票可以无限制地取用，某些邮资额数，例如7分、29分，不能够刚好凑成.求不能凑成的最大额数n，即大于n的额数都能够凄成，并证明你的答案.28.4求k的最大值，使311可表示为k个连续正整数之和。28.5将19分成若干正整数之和，使其积为最大。28.6将正整数n表示成尽可能多个互不相等的自然数的和，试求出加项的最多可能数目。28.7试把220分拆成9个不同的正整数之和，使其中最大数减去最小数之差最小.28.8能否将
2、数(1)19911991；(2)1991！表示成为1991个连续的奇自然数之和?28.9试证：当n和k都是给定的正整数且k2时，nk可以写成n个连续奇数的和.28.10设n、k都是大于2的整数，求证：n(n-1)k1可以写成n个相继偶数之和28.11哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解。28.12求证：如果正整数n不是2的乘幂形式，那么n可以表示为两个或两个以上的连续自然数之和.28.13求证：形如2p(p是正整数)的数不可以表示成两个或两个以上连续正整数之和.28.14试证：大于11的正整数必可表示成两个合数之和.28.15试证：某商品有5千克和7千克两种包装，如果需要n(23)千克
3、这种商品，无须拆散包装，用这两种包装就可以搭配成.28.16试证；每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和。28.17已知对任意正整数x，恒有质数p存在，使得np2n.试证下列命题：假如存在一个大于2的最小偶数2m0，它不能表示成2个质数之和，则4m0必能表示成3个或4个质数之和.28.18试证：1000克以下的任何砝码都能由以下砝码称出。砝码共15个：1克的1个，2克的1个，4克的1个，8克的4个，40克的4个，200克的4个。28.19试证：100可以分成满足下列条件的若干个自然数的和：(1)这若干个自然数取自100个自然数；(2)这100个自然数的和等于200.28.2
4、0设整数n5，将n分拆成4个正整数，即n=n1+n2+n3+n4.(i,j，p，q)为(1，2，3，4)的一切排列。试证：当且仅当ninjnpnq时，n为素数。28.21若对自然数n(2)有整数a1，a2，an，使a1+a2+an=a1a2an=1990，求n的最小值。28.22证明：如果对于正整数m和n等式2m=n2+1成立.那么m可表示为两个完全平方数之和，20.23已知m、n都是正整数，且mn.(1)求证：自然数m4+4n4一定可以表示为4个正整数的平方和。(2)把689表示成4个不同的自然数的平方和.28.24试证；整数可以表示为两个整数的平方和，当且仅当这个数的2倍也具有这种性质。2
5、8.25设整数和是两个三角数的和，.将4n+1表示为两平方数的和：4n+1=x2+y2，并且x与y可用a与b表示.反之，证明，若4n+1=x2+y2，则n是两个三角数的和(这里a、b、x、y为整数)。28.26令p(x，y)=2x2-6xy+5y2.若存在整数B、C，使得p(B，C)=A，则称A为p的值.(1)在1，2，100)中，哪些数是p的值?(2)证明：p的值的积仍然是p的值。28.27求证：任何整数可表示为5个整数的立方和。28.281977能写成两个整数的立方和的形式吗?28.29是否存在不同的奇自然数k、l、m满足等式?28.30已知一个整数等于四个不同的形如(m是整数)的真分数之
6、和，求该数，并求出5组不同的真分数.28.31试找出所有这样的正整数k，使得k2可以表示为k个互不相同的两两互质的正整数的和。28.32将2004分拆为一个或一个以上的正整数之和，且这些正整数“差不多相等”.所谓一些正整数“差不多相等”是指它们之中的任意两个数的差等于1或0.请问：满足上述条件的分拆方法共有多少种?(注：如果分拆后的正整数都相同，但只有次序不同.视其为同一种分拆方法.)28.33某个国家的钱币分别是由1元、5元、10元、50元、100元、500元及1000元的纸钞或硬币组成.已知一位售货员及一位顾客共有1999元，若某一个物品的价格为元，为正整数，且顾客的钱不少于元. 试证：无论的值为何，顾客购买这样物品时，售货员都可以找给顾客正确的零钱.28.34 下图是由54个边长为1的等边三角形组成的六边形，将700个点放入六边形内，不允许碰上每个三角形的边线. 说明无论何种放置方法，都至少有几个小三角形，内部放置又相同的点数.28.35 对于某些自然数，可以用个大小相同的等边三角形拼成内角都为120的六边形. 例如，时就可以拼出这样的六边形. 如图所示，请从小到大，求出前10个这样的.167
