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1、新课程下初中数学应用性问题解决的对策研究一、研究的缘起：生活中的数学为什么那么难？在七上第二章有理数的运算时，我设计了一个题目：【案例1】请你来做主：小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱其中，甲冰箱的价格为2100元，日耗电量为1度；乙冰箱是节能型新产品，价格为2220元，日耗电量为0.5度，并且两种冰箱的效果是相同的。老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？（设每度电0.5元，两种冰箱的使用寿命均为10年，平均每年使用300天）本题的实际解答情况却不容乐观，难度系数为0.35，在78个学生中有约28%
2、基本空着，只有15.3%个同学完全正确。通过对学生解题情况的分析，错误大都出现在以下三个方面：（1）对题意理解不透。一部分学生对问题的实际情况理解错误，导致完成本题时的方向错误把使用价格也打折了。错误率达41%。，明显是生活经验的不足。（2）缺乏正确解题思路。由于受到小学时一个式子的计算应用题的影响，学生缺乏分步解决问题的意识，造成得分率不高，只有41%的学生有分步的情况。（3）不会分析应用性问题。综观我区2007年初中数学中考情况的抽样分析来看，其中的第19题（包装盒展开图）和第23题（自驾旅游）是在解答题中除了压轴题之外难度最大的，难度系数分别为0.723和0.608。不能很好地解答应用性
3、问题是一个普遍存在的难题对于不常见类型的问题尤其如此。浙江版的初中数学教材展现了大量的数学素材，大多都是源于自然、社会与科学中的现象，是密切联系当前生活实际的问题，把数学问题生活化，让数学知识回到现实生活中，将其产生和发展的过程返璞归真，反映一定的数学价值，将数学本来的魅力充分展现出来。在实际教学中，应用性问题多的是经过数学处理的“形式化”习题，文字叙述更语言化，更贴近现实生活，题目也较长，数量也较多，数量关系分散隐蔽，往往脱离学生生活实际。面对一大堆非形式化的材料，学生常感到很茫然，不知从何下手，长此以往学生不但对应用性问题产生恐惧心理，也会丧失运用数学知识解决身边所发生的数学实际问题的能力
4、。具体表现在：1.在解决问题的准备中，一些学生由对应用性问题产生了不自觉的恐惧，在碰到应用性问题时就“逃避”，产生不良的心理影响。2.在信息转换的过程中，由于受应用性问题中提供信息的次序、过多的干扰语句的影响，以及对实际问题中一些“名词术语”不了解、不熟悉。许多学生，读不懂题目，只好放弃。如对实际生活中的利润、利率、定期存款、活期存款、分期付款、保险金、保险费、纳税率、折旧率等概念没有真正理解，就谈不上问题的解决了。3.在信息整合的过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识的掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用性问题的整体数学结构、即使能读懂题意，也无法把应用性问题中包含的数学对象间的复杂
5、网络关系线性化，从而无法解题。4.在信息提炼的过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换为数学问题的转释能力。数学模型呈现的形式是多样的，有的以函数显示、有的以方程显示、有的以图形显示、有的以不等式显示、有的以概率统计显示等等，还有其他各种形式的模型。具体到一个实际问题来讲，判断这个实际问题与哪些数学知识相关，用什么样的数学方法解决问题，是学生深感困难的一个环节。让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识是解决应用性问题的必要途径。加强学生数学应用意识和应用能力的培养的需要，不仅
6、是数学本身发展的需要，也是数学课程目标的要求，更是提高学生数学素质的必经之路。我们认为：教师应该有意识地对数学应用性问题的构造、学生的解题心理等方面加以分析，结合学生的学习特点设计时应该寻找让学生喜欢充满乐趣的生活中的数学问题；并创设一定的情境呈现给学生。使学生从自身的生活背景中感知数学，激发他们对应用性问题的学习的兴趣，增强学习的积极性，也有助于培养学生将实际问题转化为数学问题并加以解决的能力，逐步形成良好的应用意识。二、基础分析：透析初中数学应用性问题的本质随着数学新课程改革的深入，培养学生的数学应用意识和应用能力已成为关注的问题，对初中数学能力要求也逐步提高，出现了多种多样的应用性题，面
7、对变化多端的应用性问题，不少老师感到困惑：到底什么是应用性问题，它的范围包括哪些？这就要较完整地了解应用性问题的表述方式、涉及的对象和设问的方式和特点。1.表述方法。应用性问题的表述方法很多，常见的有：（1）自然语言；（2）图形；（3）表格；（4）图像。2.涉及的对象。初中应用性问题涉及的对象可以是极其广泛的，主要有以下几类：（1）数学学科中的常规应用性问题。主要是与日常生活密切相关的一些问题，如工程、行程、数字、长度、角、面积、体积、利率、购物、投资经营、股票等。（2）其它学科中的相关问题。如行程、力学、电学、光学、浓度、方程式的计算、时区、温度曲线、降雨量直方图、等高线、有关DNA、RNA
8、的结构和遗传等。（3）与生产生活相联系的问题。如工作、生产调配测量、物资调配、优惠等问题。3.就学生学习的情况来看，又可分为：（1）常见的类型。指在在教学中多次学习和解答的，一般是那些比较“数学化”了的应用性问题，或者是教材中出现过的问题，它们的解答思路是直接构造已知的数学模型进行解答，经过一定时间的训练之后可达到良好的效果。（2）不常见的类型。通常是在生活和生产中出现的，而经过数学化的问题，它们对于学生来说是接触比较少的，需要学生自己进行合理的分析，通过联想题目的实际原型，或者与已经学习过的某个原型建立一定的联系，才能正确理解题意。三、实施的宏观构架：追寻有效的应用性问题教学策略通过对应用性
9、问题和学生情况的分析，我们发现：问题情境和数量关系是它的两个基本构成要素，而由于数量关系或其运算通常是隐含在题目文字的陈述之中的，其解决需要较复杂的思维操作。而就学生解决应用性问题的常规思路来说，数学应用性问题解决的难点主要在于将问题情境向数学问题的转化，也就是我们要经常引导学生从所熟悉的生活实际和相关的学科的实际问题出发，通过消除学生学习应用性问题的心理负担，帮助学生度过信息转换、整合、提炼的难关，归纳、抽象出数学概念和规律，建立起相应的数学模型，从而把实际应用性问题转化为数学问题来解决。结合数学建模教学理论，构建了以下的实施策略（如下图）：实际问题的解实际问题心理关数学建模数学的解成功失败
10、文理关事理关数理关（新课程下初中数学应用性问题解决的实施对策图）四、课题研究的具体实施：使我们的教学更高效我们的实践是在引导学生度过心理、文理、事理、数理“四理关”的同时，更注重引领学生主动参与数学的学习，实现主动的自我构建。1.心理关在平时的教学加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得足够的自信。1.1 发掘教材因素初中数学教材中含有大量的应用性问题素材。如课本上的例题、习题，它具有目的性、典型性、层次性、综合性的特点。在教学中，应精心发掘它们的内在功能，还应适当引申发展，充分发掘课本例习题的示范作用。【案例2】七上“5.3一元一次方程的应用
11、（1）”的“课内练习2”是一个一元一次方程的具体应用性问题，学生在解决本题时并不会有太多的困难，因此我又进一步开展以下的教学活动：（1）新的问题：若两人同时出发，相向而行。问多少时间后两人相距30千米？同向而行。问多少时间后乙追上甲？背向而行。问多少时间后两人相距300千米？以上的问题设计目的是让学生更清楚题目中的数量关系和所要开展的讨论。在教学中95%以上能解答的学生都只考虑了其中的一种情况，于是我采用了让学生参与的教学方式让学生在教室里进行实际的演示。（2）学生演示（主要结合上述的问题）：结合学生对其中一个线段图的演示，教室里产生了不同的声音：还有一种情况。于是就有了学生的又一种线段图。（
12、3）题后总结本题的教学，我只是采用了教材常规的拓展，让学生在疑惑中思考，进行自我的知识构建，让许多学生感受到了学习应用性问题的乐趣，在拓展中不断深化知识，也带给学生良好的自信。（4）课后引申请学生参照习题自己编拟一道类似的应用性问题。要求：可以改变实际问题的背景和数据，但不能改变列方程的形式和解法。其中2例如下：（1）甲、乙两人合做180个零件，甲每小时做15个，乙每小时做20个。甲先做1时，乙再加入，问甲再多少时间后完成任务？（2）买甲、乙两种糖果共付款180元，甲种糖果每千克15元，乙种糖果每千克10元。若甲种糖果比乙种糖果多买1千克，问各买了多少千克？这样，既丰富了课堂教学内容，又结合实
13、际灵活多变进一步加强了学生的数学应用意识，在一定程度上消除了学生对实际问题的畏惧心理。1.2利用多媒体辅助教学，提高课堂效率借助多媒体，教师可以利用音频、视频、文本、色彩、速度调控等技术手段，以图象、动画、幻灯、影片等生动形象的表现形式，把抽象的数学问题具体化，复杂的过程条理化，内存联系表面化，动态过程展示化。根据需要在顷刻间展现教师的意图，以生动的形式体现抽象的思维过程和思维方法。【案例3】八下5.2 平行四边形 引入的教学中：我事先准备好任意两个全等的三角形，用这两个全等三角形你能拼出几种不同形状的四边形？又有什么规律？学生小组在自主探究后，一个小组的图形如下：后让学生进行总结有什么体会（
14、规律、方法等）。在学生不能得到规律时，我采用动画演示分类：；，并组织了学生的交流。从“三边2=6种”到“对6个四边形进行分类”到“每边重合后旋转可得到2个”等，学生的回答有许多超出教师设想之外的。1.3开展课外活动从生活中来到生活去，这是学生最感兴趣的问题。因此，我们可以开展一些丰富多彩的数学课外活动，让学生在活动中寻找数学学习的乐趣和解决问题的信心。如测量校园内的一棵高不可攀的大树的高度的探索【案例4】实践1 根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计一个测量方案。学生设计：如图，把镜子放在离树（AB）8M点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE
15、=2.8M，观察者目高CD=1.6M。实践2 提供选用的测量工具有皮尺一根；教学用三角板一副；长为2.5米的标杆一根；高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架；请你选用适当的测量工具，设计可行的测量方案。要求：（1）写出你选用的测量工具？（2）简单地画出你的测量方案示意图？（3）根据你的方案记录测得的数据并计算出树的高度？（4）你能设计多种方案吗？虽然在实践中许多学生设计方案如图（缺少创造性），能设计出两种方案以上的同学仅占10.2%，一些学生设计的计算方案中的树高达到100多米，一些学生设计的方案不具有实际的可操作性，但明显地可以感受到开展这样的课外活动可以使学生明显地提高学习的乐趣和自信心。通过引导学生参与实践生活，了解和熟悉数学实际问题的现实背景，沟通数学应用性问题与实际模型之间的联系，使学生从本质上的认识数学实际问题，对学生的数学学习不无裨益。2.文理关阅读一个问题，需要在问题的文字语言中捕捉信息，并将文字语言转化为数学的符号语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流，这就需要对学生加强数学语言能力的培养，数学语言包括文字语言、图形语言和符号语言。2.1注重多角度的理解语义教学中我们发现，其实学生解决应用性问题的关键在于转化，而转化的关键在于会从合理的角度对数学应用性问题进行理解和抽象，在进行审题之后，学生对于其中数学语言的理
