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1、定积分 定积分 三 定积分的性质 一 定积分问题举例 二 定积分的定义 1曲边梯形的面积 一 定积分问题举例 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 曲边梯形如图 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 2变速直线运动的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 1 分割 2 求和 3 取极限 路程的精确值 二 定积分的定义 定义 记为 注 定理1 存在定理 定理2 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 定积分的几何意义 几何
2、意义 例1利用定义计算定积分 解 例2利用定义计算定积分 解 极限运算与对数运算换序得 故 对定积分的补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 三 定积分的性质 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1 证 性质2 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 例若 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 证 性质4 性质5 于是 性质5的推论 证 1 证 说明 可积性是显然的 性质5的推论 2 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 解 解 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 使 即 积分中值公式的几何解释 使 微积分基本公式 三 牛顿 莱布尼茨公
3、式 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 二 积分上限函数及其导数 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一 变速直线运动中位置函数与速度函数的 考察定积分 二 积分上限函数及其导数 积分上限函数的性质 证 由积分中值定理得 补充 证 定理2 原函数存在定理 定理的重要意义 1 肯定了连续函数的原函数是存在的 2 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 定理3 微积分基本公式 证 三 牛顿 莱布尼茨公式 令 令 微积分基本公式表明 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题 例1求 例2设 求 解 例3求 例4求 解 解面积 证 例8求 解 分析 这是型不定式 应用洛必达法则 定
4、积分的换元法和分部积分法 一 定积分的换元法 二 定积分的分部积分法 定理 一 定积分的换元法 应用换元公式时应注意 2 1 例1计算 令 解 例2计算 解 例3计算 例4计算 原式 证 定积分的分部积分公式 推导 二 定积分的分部积分法 例7计算 例8计算 解 例9证明定积分公式 积分关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 于是 定积分的应用 第一节定积分的元素法 第二节定积分在几何学上的应用 第三节定积分在物理学上的应用 a b 定积分的元素法 面积表示为定积分的步骤如下 n 3 求和 得A的近似值 y 提示 4 求极限 得A的精确值 元素法的一般步骤 这个方法通常叫做元素法 应用方向
5、 平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 功 水压力 引力和平均值等 定积分在几何学上的应用 一 平面图形的面积 二 体积 三 平面曲线的弧长 一 平面图形的面积 面积元素 两曲线的交点 解 选为积分变量 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 2 极坐标系情形 2a 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 二 体积 1 旋转体的体积 旋转体的体积为 解 解 补充 利用这个公式 可知上例中 2 平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体 但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积 那么 这个立体的体积也可用定积分来计算 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 三 平面曲线弧长的概念 曲线弧为 弧长 1 参数方程 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 证 根据椭圆的对称性知 故原结论成立 弧长元素 弧长 2 直角坐标方程 解 所求弧长为 解 曲线弧为 弧长 极坐标方程 解 解 例17计算摆线 的一拱的长度 解弧长元素为 从而 所求弧长
