《一维热传导MATLAB模拟(二)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一维热传导MATLAB模拟(二)（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学海无涯 昆明学院 2015届毕业设计 论文 设计 论文 题目一维热传导问题的数值解法及其MATLAB模拟子课题题目无 姓名伍有超学号201117030225所属系物理科学与技术系专业年级2011级物理学2班指导教师王荣丽2015年5月 学海无涯 摘要 本文介绍了利用分离变量法和有限差分法来求解一维传导问题的基本解 并对其物理意义进行了讨论 从基本解可以看出 在温度平衡过程中 杠上各点均受初始状态的影响 而且基本解也满足归一化条件 表示在热传导过程中杆的总热量保持不变 通过对一维杆热传导的分析 利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解 并用MATLAB数学软件来对两种方法下的热传导过程进
2、行模拟 通过对模拟所得三维图像进行取值分析 得出由分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同 且均符合热传导过程中温度随时间 空间的变化规律 所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题 关键词 一维热传导 分离变量法 有限差分法 数值计算 MATLAB模拟 一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟 AbstractInthispaper themethodofvariableseparationandfinitedifferencemethodareintroducedtosolvetheproblemofone dimensionalheatconductionproblems
3、 andthephysicalsignificanceofnumericalmethodsforheatconductionproblemsarediscussed Fromthebasicsolution wecanseethetemperatureonthebarareaffectedbytheinitialstateduringtheprocessoftemperaturebalance andbasicsolutionalsosatisfythenormalizationconditionwhichimpliedtheinvarianceofthetotalheatinthebardu
4、ringtheheatconductionprocess Throughtheanalysisoftheone dimensionalheatconduction bytakinguseofvariableseparationmethodandfinitedifferencemethod wesimulatedtheone dimensionalheatconductionproblembyMATLAB Thethree dimensionalimagesofthesimulationresultsobtainedbythemethodofseparationofvariablesandfin
5、itedifferencemethodaresimilartoeachother andthetemperaturecurveisinaccordancewiththelawoftemperaturevariationduringheatconduction Thus wecangototheconclusionthatbothmethodscanbeusedtodealwiththeone dimensionalheatconductionproblems Keywords One dimensionalheatconduction methodofvariableseparation fi
6、nitedifferencemethod numericalmethod MATLABsimulation 一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟 目录 第一章绪论1 1热传导的概念 11 2热质的运动和传递 1 4 928920 学海无涯 第一章绪论 热传导的概念由于温度分布不均匀 热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导 热传导是热传递三种基本方法之一 它是固体中热传递的主要方式 在不流动的液体或气体层中传递 在流动的情况下往往伴随着对流同时发生 固体 液体以及球体热传导热传导的实质是由大量的物质分子热运动相互撞击 而使能量从高温部传至低温部分 或由高温物体传给低温物体的过程
7、 在固体中 热传导的微观过程是 在高温部分 晶体中结点上的微粒振动动能较大 在温度低的部分 微粒的振动动能比较小 因为微粒的振动互相联系 所以在晶体内部就发生着微粒的振动 动能由动能大的部分分向给动能小的部分 在固体中热的传导 就伴随着能量的迁移 在金属物质中因为存在大量的自由电子 在不停的做无规则运动 自由电子在热传导过程中起主要作用 在液体中传导表现为 液体分子在温度高的区域热运动比较强 由于液体分子之间存在着相互作用 热运动的能量将逐渐向周围层传递 引起了热传导现象 由于热传导系数小 传导较慢 它与固体相似 因而不同于气体 气体依靠分子的无规则热运动以及分子间的碰撞 在气体内部发生能量的
8、迁移 从而形成宏观上的热量传递 1 热质的运动和传递物质具有的热能 粒子无规运动动能 是物质能量形式之一 它又对应着物质所具有的热质量 并且可看作为是热子气的质量 2 物体导热过程中的热量输运对应着热质量 热子气质量 的输运 与对流输运不同 热质的输运是属于分子输运或扩散输运 它可以用热子气的宏观速度 漂移速度 来描述 与此类似 为了能够描述和研究热子气的宏观运动 需要建立热子气运动的速度和加速度等物理量 为了能确定热子气运动状态的变化与施加在热子气之上的非平衡作用力之间的关系 我们需要建立热质运动定律 3 在热质和热子气概念基础上 建立了热子气的质量 动量和能量守恒方程 基于傅立叶导热定律求
9、得了热子气粘性力的近似式 4 傅立叶导热定律本质上是忽略惯性力条件下的热子气的压力梯度与粘性力的平衡方程 当惯性力可以忽略时 热子气的动量守恒方程退化为傅立 一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟叶导热定律 在极低温或极高热流密度时傅立叶导热定律不再适用 5 在最近的20多年里 对一维体系热传导性质的研究已经从纯理论研究的兴趣延伸到了对其应用性的探讨 自从2002年G Casati等人提出了利用非线性参数来控制一维体系中的热流量 例如制备热整流器 thermalrectifier 的设想和方案以来 通过组合不同性质的一维晶格体系来控制和操纵热流 制备出诸如热二极管 thermaldiode
10、 6 热阻 thermalresistance 热晶体管 thermaltransistor 7 等微观热器件的研究 为人们展示了一维体系热传导研究中诱人的应用前景 8 一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟 第二章一维热传导问题的两种数值解法 2 1一维热传导问题的初值问题问题简述 一均匀细杆直径为l 假设它在同一截面上的温度是相同的 杆的表面和周围介质发生热交换 并服从规律 dQ k1 u u1 dSdt 1 又假设杆的密度为 比热为c 热传导系数为k 式导出此时温度u满足的方程 1 任取细杆中的一段 x1 x2 从时刻t1到时刻t2热量的增量为 dxdt cps x t t2x2 t
11、1x1 Q1 cps u x t u x t2 u x t1 dx 2 x1 2 2 4 12 其中s l是杆的截面积 通过 x x 的两端流入的热量为 dxdt ks t T x t2x2 t1x1 x2 2 u x t u x2 t ux x1 t dt Q2 ks 2 1 3 通过 x1 x2 的侧面与周围介质发生的热交换量为 2 11 3 t t2x x Q k1 u u1 ldxdt 4 由能量守恒定律Q1 Q2 Q3 以及x1 x2 t1 t2的任意性得 c s k1 u u1 l ks t x2 u x t 2u x t 5 记a2 k b2 k1 l 4k1 可得 c c sc
12、 l 1 2 a b u u t x2 u x t 2 2u x t 6 一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟若考虑一维热传导方程的初值问题即是Cauchy问题 9 ut a2uxx f x t x t 0 t o u x x 7 求具有所需次数偏微商的函数u x t 满足方程 1 x 和初始条件 8 u x 0 x x 考虑齐次热传导方程的初值问题 ut a2uxx f x t x t 0 t o u x x 9 d t x t e e 2 x 2 4at x 3a ed 12a t 12a 通过推导可以推导出 u x t f 1 u x t 10 t o u 0 x 若考虑非齐次热传
13、导方程的齐次初始条件 10 的初值问题 ut a2uxx f x t x t 0 11 通过推导可以推导出解为 d d e t t 2 x 2 4a t 0 f 12a u x t 12 若考虑非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的 e f t t 2 x 2 2 x 2 4a t 0 4at 12a ed 12a t u x t d d 13 以上就为齐次热传导方程的初值问题 非齐次热传导方程的齐次初始条件的初值问题和非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的解 一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟2 2一维热传导问题的分离变量法利用分离变量法的实验原理来解决有界长杆的热传导问题
14、一 考虑齐次热传导方程的混合问题 边界条件 都是第一类情形 ut a2uxx 0 x l t 0 u0 t 0 u l t 0 u x 0 x 14 其中 x 为给定的已知函数 求解过程为首先令u x t X x T t 将其带入方程 ut a2uxx 15 并且分离变量得两个常微分方程 T t a2T t 0X x X x 0 16 由边界条件u 0 t 0 u l t 0可得 X 0 X l 0 17 为有界长杆的热传导问题 11 的解 二 求边值问题一维热传导问题的分离变量法求边值问题的原理 即是求X x X x 0 X 0 X l 0的非0解包括以下三种情况 当 0时 该问题没有非平凡
15、解 当 0时 该问题也没有非平凡解 当 0时 该问题有非平凡解 此时 2 l n n n 1 2 3 17 18 Xn x Bnsinn x n 1 2 3 l若现在考虑 T t a2T t 0 19 2 l n n 将特征值 n 1 2 3 代入方程得 T t n a 2T t 0 l 20 一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟 求得通解为 l na 2t T t Cne n 1 2 3 21 于是可以求解出定解问题中的一维热传导方程组且满足齐次边界条件的具有变量分离形式特解 12 n xl anesin n 1 na 2tl u x t 22 其中an BnCn 是任意常数 在利用初
16、值条件u x 0 x 可得 l n 1 ansinn x x 23 继而推导出 l l 2n x 1 0 an x sindx 24 所以 ll n xl an x sindx 2n x anesin ux t 1 0 n 1 na 2tl 25 就为所求定解问题 14 的特解 若问题中的边界条件出现第二类或者第三类齐次边界条件 解法类似 2 3一维热传导问题的有限差分法 一 有限差分法的介绍 有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法 至今乃被推广使用 13 该方法将求解域划分为差分网格 用有限个网格节点代替连续的求解域 有限差分法以Taylor级数展开等方法 把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散 从而建立网格节点上的值为未知数的代数方程组 有限差分法的优点 它是一种直接将微分问题变为代数问题的近似解法 数学观念直观 表达简单 是发展最早而且比较成熟的数值方法 有限差分法的缺点 它是必需进行整个区域的划分 并且要求网格比较规则 空间网格最好为直角网格 一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟 二 利用有限差分法进解决一维热传导问题 问题背景1 热传导的方程介绍 1
