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1、兰州交通大学数值计算法研究生考试试卷兰州交通大学数值计算法研究生考试试卷 二 二 一 5 5 分 利用有效数位的定义 分析分 利用有效数位的定义 分析 1 1 某个精确值的近似值为某个精确值的近似值为 m n aaax10 0 21 其中其中 m m 为正整数为正整数 1 a0 其有效数位其有效数位 与绝对误差及相对误差限的关系 与绝对误差及相对误差限的关系 2 2 分 分 2 2 进一步分析 若以知近似值为 进一步分析 若以知近似值为 1 414231 41423 的相对误差小于的相对误差小于 4 10 2 1 这个近似值至少有几 这个近似值至少有几 位有效数位 位有效数位 3 3 分 分
2、解答 1 设 x是精确值 x 的一个近似值 则称 x x为近似值 x的绝对误差 绝对误差 e 与精确值 x 之比为近似值 x的相对误差 记作 xee rr或 若 是 x对 x 的绝对误差限 则 x r 为 x对 x 的一个相对误差限 如果 nm xx 105 0 则称 x作为 x 的近似 值具有 n 位有效数字 2 1 41423 0 141423 1 10 所以1 1 a 由定理 5 10 2 1 10 4 1 10 2 1 10 1 2 1 n10 1 2 1 41 41 1 1 1 n a x a n n n r 即 即 位有效数字 至少有则 二二 1010 分分 证明题证明题 设设 a
3、 0a 0 证明有迭代格式证明有迭代格式 2 1 1 n nn x a xx 产生的迭代序列产生的迭代序列 n x 对于任意的对于任意的0 0 x 均收敛于 均收敛于a 三三 1010 分 对下列矩阵分 对下列矩阵 A A 分别作分别作 DoolittleDoolittle 分解和分解和 CroutCrout 分解 即对矩阵分解 即对矩阵 A A 进行进行 L LU U 分解 分解 1124 2142 61233 2442 解答 A 1124 2142 61233 2442 50411 0 414 3 1 1 34 2 3 3 233213313333 123132 22 32 1221222
4、2 ululau ula u l ulau 由公式知 13 2 1 n3 2 n3 2 n 2 1 1 1 1 11 1 1 11 njjiula u l iijulau i u a l jau kj ij k ikij jj ij i k kjikijij i i jj L 18 322 0101 0015 1 0001 U 9000 0500 3630 2442 四四 1515 分分 证明题证明题 设设 f x f x 在区间在区间 a a b b 上有定义上有定义 f x f x 在在 a a b b 内有内有 4 4 阶导数阶导数 H x H x 是满足插值条件是满足插值条件 H xj
5、 yjH xj yj H H xj mj xj mj j 0 1j 0 1 的三次 的三次 HermiteHermite 插值函数 则对任意插值函数 则对任意的的 x x a a b b H x H x 的插值余项为 的插值余项为 R x f x R x f x H x H x 4 4 f 2 10 xxxx 证明 由 0 0 33 33 33 iii iii xHxfxR xHxfxR xHxfxR i 0 1 可知 10 x x均为 3 xR的二重零点 因此可设 3 xR K x x 0 x x 1 x 其中 K x 待定 构造辅助函数 2 1 2 03 2 1 2 03 2 1 2 03
6、 0 xxxxxKxHxfx xxxxxKxHxfx xtxtxKtHtft iiiii 因此 t 至少有 5 个零点 连续 4 次使用 Rolle 定理可得 至少有一点 10 x x 使得 所以 即 4 0 4 0 4 4 4 4 f xK xKf 所以两点三次 Hermite 插值余项为 R x f x H x 4 4 f 2 10 xxxx 10 xx 五五 1010 分 证明题 设分 证明题 设 x是方程组是方程组 Ax bAx b 的精确解 若的精确解 若 1 B对于迭代格式对于迭代格式 0 1 1 1 2 1 0 xx B B xx kfBxx k kk 有 证明 0 1 1 1
7、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xx B B xx B B xx B xx xxB xxxxxxxxxx xxBxx xxBxx xxBxx xxBxx fBxx fBxx fBxx k kk kkk k kkkkkk kk kkkk kk kkkk kk kk 于是有 由于 证毕 六六 1010 分 设有求积公式 分 设有求积公式 1 0 1 2 1 1 10 fAfAfAdxxf 试确定系数试确定系数 2 10 AAA使上述求积公式的代数精度尽量高使上述求积公式的代数精度尽量高 并指出求积公式所具有的代数精并指出求积公式所具有的代数精 度 度 解答 由于有三
8、个待定系数 按代数精度取 f x 1 x x 使所求的求积公式 f x 余项为 0 可以建立三个方程 3 2 3 0 2 2 1 1 1 2020 1 1 22 0202 1 1 210210 1 1 AAAAdxxxxf AAAAdxxxxf AAAAAAdxxf 3 1 3 4 3 1 2 1 0 A A A 则求积公式 1 3 1 0 3 4 1 3 1 1 1 fffdxxf 右边左边 时 令 右边左边 时 令 5 2 5 5 1 3 2 1 3 1 0 3 4 1 3 1 1 1 0 0 1 1 0 4 4 1 0 1 3 1 0 3 4 1 3 1 1 1 0 0 1 1 1 1
9、1 1 4 4 1 1 1 1 3 3 x x dxx fff fffxxf dxx fff fffxxf 故此式有三阶代数精度 七七 1515 分 分别利用欧拉方程和改进的欧拉方程求解初值问题 分 分别利用欧拉方程和改进的欧拉方程求解初值问题 1 0 2 y xyy dx dy 在区间在区间 0 1 0 1 上以步长上以步长 h 0 1h 0 1 的数值解 的数值解 解答 由题目知道 2 xyyyxf 欧拉公式 22 1 1 01 1 nnnnnnnnnnn yxyyxyhyyxhfyy 欧拉改进公式 1 0 1 1 0 0 0005 0 11 0 0605 0 055 0 105 1 2
10、1 01 1 01010 4 1 23 11 2 111 22 1 yxxx yxxyxxyxyxy yxfyxf h yy yxyyxyhyyxhfyy nnnnnnnnnnn k nnnnn k n nnnnnnnnnn k n 其中 代入上式进行计算 计算结果见下表 欧拉法改进的欧拉法 y11 11 09895 y21 1979 y31 28899 y41 36804 y51 42998 y61 47074 y71 48803 y81 48183 y91 45432 y101 40943 其余的请读者自己计算 八八 1515 分分 给定数据表 给定数据表 5 4 3 2 1 i i x
11、2 2 1 10 01 13 3 i xf 56 56 16 16 2 2 2 24 4 求求 3 3 次牛顿插值多项式次牛顿插值多项式 解 i x i xf一阶差商二阶差商三阶差商 2 56 1 1640 0 214 13 1 20 72 34312 由差商表可得 3 次牛顿插值多项式为 2572 0 1 2 2 1 2 13 2 4056 23 21031020103 xxx xxxxxx xxxxxxaxxxxaxxaaxN 九 九 1010 分分 证明证明 设设nn 阶矩阵下的范数小于阶矩阵下的范数小于 1 1 即即1 F 则矩阵则矩阵 I FI F 可逆可逆 并有并有 F F 1 1 1 1 其中其中 I I 为单位矩阵为单位矩阵 证明 1 用反证法证明 F FI FIFIFI FIFIFI IFIFFIIIFIFI FIFI F x Fx xFxxFI 1 1 2 11 00 det 1 11 11 111 0 0 000 又 为逆矩阵 为非奇异矩阵 故则 与题设矛盾 从而因此 使得 则存在 柴海华 2014 122521 25于兰交大
