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1、黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020学年高二数学4月月考试题 文（含解析）一、选择题（每题5分 ）1.已知函数，则其导数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据初等函数的导数即可得结果.【详解】，根据对数函数求导公式可得，故选C.【点睛】本题主要考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题2.曲线在处的切线倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】对函数求导则，则，则倾斜角为故本题答案选3.若函数，则的值为（）A. 0B. 2C. 1D. 1【答案】A【解析】求函数f（x）=x3f（1）x2x的导数，得，f（x）=x22f（1）x1， 把x=1代入，得
2、，f（1）=12f（1）1f（1）=0故答案为：A.4.函数的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数的单调递减区间【详解】令 解得，函数的单调递减区间是故选：D【点睛】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性5.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）A. 在上为减函数B. 在处取得最大值C. 在上为减函数D. 在处取得最小值【答案】C【解析】分析：根据函数f（x）的导函数f（x）的图象可知f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可详解：根据
3、函数f（x）的导函数f（x）的图象可知：f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0当x0时，f（x）0，f（x）递增；当0x2时，f（x）0，f（x）递减；当2x4时，f（x）0，f（x）递增；当x4时，f（x）0，f（x）递减可知C正确，A错误；由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误故选：C点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f（x）0得增区间，由f（x）0得减区间，由f（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f（x）的符号是否发生改变.6.若函数在区间单调递增，则的取值
4、范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由函数在区间单调递增可得：在区间恒成立，故7.若函数在内有极小值，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据题意，求得极值点再(0,1)上，然后求导判断函数单调性，找到极值点，然后求解即可.【详解】解得 .因为函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，所以.极值点在(0,1)上,所以在递增，在递减；递增；所以在取极小值， 故选A【点睛】本题考查了导函数的应用极值，判断极值点是解题的关键，属于中档题.8.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数讨论函数的单
5、调性和最值可得正确的选项.【详解】定义域为：，又，当时，所以在上为增函数，故C、D错；当时，所以在上为减函数，故，所以的图像恒在轴上方，故选A.【点睛】对于函数的图像的问题，我们可先计算函数的定义域，然后研究函数的奇偶性，再研究函数在特殊点的函数值的大小和符号，必要时可依据导数的符号确定函数的单调区间、最值等，结合排除法可得正确的结果9.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”. 成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（ ）A. 甲B. 乙
6、C. 丙D. 丁【答案】A【解析】【分析】分别假设第一名是甲、乙、丙、丁，然后分析四个人的话，能够求出结果【详解】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件；当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件；当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件故选：A【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题10.已知函数在处取得极大值10，则实数的值为（ ）A. 2或B. 2C. 2或D. 【答案】D【解析】【分析】利用在的极大值
7、为得到，解出后代入检验可得的值.【详解】因为在的极大值为，所以，所以，解得或者，当时，当时，当时，故是的极小值点，舍去；当时，当时，当时，故是的极大值点，符合.此时，故选D.【点睛】函数极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低（局部最高）”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有（）” 另外如果在附近可导且的左右两侧附近导数的符号发生变化，则必为函数的极值点11.若函数在区间 上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导函数，函数在区间上是减函数化成在区间上恒成立，利用“分离参数法”可得结论.【详解】由，由题意知，即在上恒成
8、立，得，又，故选D.【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.12.函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构建新函数，利用导数讨论其单调性，从而可解不等式，该不等式的解集就是原不等式的解集.【详解】令，则，所以为上的增函数，又， 故的解是的解，所以的解为.故等价于
9、即，所求解集为，故选B.【点睛】解函数不等式，通常需要构建新函数并利用新函数的单调性来求不等式的解，而新函数的单调性可用复合函数的单调性的判断法则或导数的正负来判断.二、填空题（每题5分）13.曲线在点处的切线方程为_【答案】y=2x2【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.详解：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简整理.14.函数的极值点是_【答案】或1或0【解析】【分析】先求出函数的导数，再利用导数的符号可求函数的极值点.【详解】，列表讨论如下：减极小值
10、增极大值减极小值增综上，的极值点为或或，填或或.【点睛】若在及其附近可导，则：（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；（2）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；15.若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为_【答案】【解析】解：因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，那么可知两平行线只见到 距离为16.已知，若，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】不妨设，则原不等式等价于，构建新函数，则存在实数，使得为上的增函数，根据在上恒成立可得到在上有解，从而得到的取值范围.【详解】不妨设，不等式等价于即
11、，令，则存在实数，使得为上的增函数即恒成立.又，故不等式在上恒成立.令，则，因为，故，所以在上有解，所以即.填.【点睛】对于函数，如果对于任意的，均有，则问题可以转化为新函数的单调性来讨论.注意不可转化为曲线的割线的斜率来讨论.三、解答题（17题10分，1822题，每题12分）17.已知曲线，求曲线过点的切线方程。【答案】4xy40或xy20.【解析】试题分析：求出函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论试题解析：在点处的切线的斜率函数在点处的切线方程为即.考点：导数的几何意义.18.函数过点.（1）求函数的单调区间（2）求函数在区间上的最大值和最小值。【答案】（1）的增区间为，减区间为（2
12、），【解析】【分析】（1）利用在函数图像得到，再利用导数求出函数的单调区间；（2）利用（1）中的单调性可求函数在的最值【详解】(1)点在函数的图象上，解得，当或时，当时，所以的增区间为，减区间为(2)由(1)可得：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则19.若是函数的极值点（1）求的值；（2）若时，成立，求的最大值【答案】(1)(2)4【解析】【分析】求解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可；由题意首先讨论函数的单调性，然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即
13、可【详解】，由已知，得，经检验当时，满足题意，故由可知，当时，递增；当时，递减；当时，递增；因此，极大值为，极小值为，又由得或，由得或，故的最大值为4【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。20.已知函数.（1）当，求证；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，之后对函数求导，得到其单调性，从而求得其最小值为，从而证得结果.（2）通过时，时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解的取值范围，也可以构造新函数，结合函数图象的走向得到结果.详解】（1）证明：当时，得，知在递减，在递增，综上知，当时，.（2）法1：，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，且，由函数有个零点，即直线与函数图像有两个交点，得. 法2：由得，当时，知在上递减，不满足题意；当时，知在递减，在递增. ，的零点个数为，即，综上，若函数有两个零点，则.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究函数的最值，以及研究其零点个数的问题，属于中档
