北京中考数学复习圆2.pdf

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1、专题 圆 专题 圆 2 2 知识梳理 知识梳理 方法集会 方法集会 常见解直角三角形的模型 常见相似的模型 考点突破 考点突破 考点考点一 一 切线的性质与判定切线的性质与判定 例 1 已知点到直线的距离为 以点为圆心 为半径作 1 若与相切 则的值为 2 若与相离 则的值的取值范围为 3 若与相交 则的值的取值范围为 变式 1 在平面直角坐标系中 以点为圆心 为半径的圆 一定 A 与轴相切 与轴相切B 与轴相切 与轴相交 C 与轴相交 与轴相切D 与轴相交 与轴相交 变式 2 已知的半径 设圆心到一条直线的距离为 圆上到这条 直线的距离为的点的个数为 给出下列命题 其中正确命题的个数是 若

2、则 若 则 若 则 若 则 若 则 A B C D 例 2 如图 是的切线 切点为 交于点 点在 上 若 则等于 A B C D 变式 1 如图 是的弦 的延长线交过点的的切 线于点 如果 则的度数是 A B C D 变式 2 如图 是的直径 直线切于 点 若 则 A B C D 变式 3 如图 为的直径延长线上一点 与相切 切 点为 点是上一点 连接 已知 下列结论 与相 切 四 边 形是 菱 形 其中正确的个数是 A B C D 例 3 如图 ABC 中 A 60 BC 6 它的周长为 16 若 O 与 BC AC AB 三边分别切 于 E F D 点 则 DF 的长为 变式 1 如图 P

3、A PB 分别切圆 O 于 A B 并与圆 O 的切线 分别相交于 C D 已知 PA 7cm 则 PCD 的周长等于cm 变式 2 如图 O 是 ABC 的内切圆 切点分别为 D E F AB 10 BC 9 AC 7 则 AD 例 4 下列命题正确的是 与圆有公共点的直线是该圆的切线 垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 过圆直径的端点 垂直于此直径的直线是该圆的切线 A B C D 变式 1 下列说法中 正确的是 A 垂直于半径的直线是圆的切线B 圆的切线垂直于圆的半径 C 切线垂直于半径D 经过切点的半径垂直于切线 例 5 如图 为上一点 且 以点为

4、圆心 半径 为的圆与的位置关系是 A 相离B 相交 C 相切D 以上三种情况均有可能 变式 1 如图 是的直径 交于点 于点 要使是的切线 还需补充一个条件 则补充的条件不正确的是 A B C D 变式 2 如图 是上一点 是外一点 连接交于点 则与的位置关系是 例 6 已知 如图 内接于 过点作直线 当 时 试确定直线与的位置关系 并证明你的结论 变式 1 如图 为上一点 点在直径的延长线上 且 求证 是的切线 过点作的切线交的延长线于点 若 求的长 选讲 变式 2 如图 在中 以为直径的与边交 于点 过点的直线交边于点 证明 是的切线 若的半径 求线段的长 选讲 例 7 如图 在 ABC

5、中 以 AB 为直径的 O 分别于 BC AC 相交于点 D E BD CD 过点 D 作 O 的切线交边 AC 于点 F 1 求证 DF AC 2 若 O 的半径为 5 CDF 30 求的长 结果保留 变式 1 如图 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 分别交线段 BC AC 于点 D E 过 点 D 作 DF AC 垂足为 F 线段 FD AB 的延长线相交于点 G 1 求证 DF 是 O 的切线 2 若 CF 1 DF 求图中阴影部分的面积 例 8 如图 AC 是 O 的直径 BC 是 O 的弦 点 P 是 O 外一点 连接 PB AB PBA C 1 求证 PB 是 O

6、 的切线 2 连接 OP 若 OP BC 且 OP 8 O 的半径为 2 求 BC 的长 变式 1 如图 1 在 APE 中 PAE 90 PO 是 APE 的角平分线 以 O 为圆心 OA 为半 径作圆交 AE 于点 G 1 求证 直线 PE 是 O 的切线 2 在图 2 中 设 PE 与 O 相切于点 H 连结 AH 点 D 是 O 的劣弧上一点 过点 D 作 O 的切线 交 PA 于点 B 交 PE 于点 C 已知 PBC 的周长为 4 tan EAH 求 EH 的长 考点考点二 二 圆的综合题圆的综合题 解直角三角形 解直角三角形 例 1 如图 是的直径 为上一点 过点作的 切线 交延

7、长线于点 连接 过点作 交的延 长线于点 连接 求证 直线是的切线 若 求的长 变式 1 如图 在中 以边为直径作交边于点 过 点作于点 的延长线交于点 求证 是的切线 若 且 求的半径与线段的长 变式 2 如图 是的直径 交于点 为的中 点 连接交于点 作 垂足为 连接 且 求证 为的切线 若 求的长 相似三角形 相似三角形 例 3 如图 在中 是的平分线 点在 上 经过 两点 交于点 求证 是的切线 若 求的长 变式 1 如图 中 平分交于点 点 在上 于点 求证 是外接圆的切线 若 求的长 变式 2 如图 中 为上一点 以为直径的 交于点 连接交于点 交于点 连接 判断与的位置关系 并说

8、明理由 若 求的长 模考链接 模考链接 1 2016 朝阳初三二模 如图 O是 MAN的边AN上一点 以OA为半径作 O 交 MAN 的平分线于点D DE AM于E 1 求证 DE是 O的切线 2 连接OE 若 EDA 30 AE 1 求OE的长 2 2016 朝阳初三一模 如图 点D在 O上 过点D的切线交直径AB延长线于点P DC AB于点C 1 求证 DB平分 PDC 2 若DC 6 3 tan 4 P 求BC的长 3 2016 东城初三一模 如图 AB为 O的直径 PD切 O于点C 与BA的延长线交于点 D DE PO交PO延长线于点E 连接PB EDB EPB 1 求证 PB是 O的

9、切线 2 若PB 3 DB 4 求DE的长 4 2016 东城二模 如图 在 ABC中 BA BC 以AB为直径的 O分别交AC BC于点D E BC的延长线与 O的切线AF交于点F 1 求证 ABC 2 CAF 2 若AC 2 10 10 sin 10 CAF 求BE的长 5 2016 丰台一模 如图 在 ABC中 ACAB 以AB为直径的 O分别交AC BC 于点D E 过点B作 O的切线 交AC的延长线于点F 1 求证 1 2 CBFCAB 2 连接BD AE交于点H 若5 AB 2 1 tan CBF 求BH的长 6 2016 丰台二模 如图 AB是 O的直径 BD交 O于点C E为

10、BC的中点 连接AE交 BD于点F 作ABFG 垂足为G 连接AD 且BAED 2 1 求证 AD为 O的切线 2 若 5 3 cos D 6 AD 求FG的长 G O D C BA E 7 2016 海淀一模 如图 AB AD是 O的弦 AO平分BAD 过点B作 O的切线交AO 的延长线于点C 连接CD BO 延长BO交 O于点E 交AD于点F 连接AE DE 1 求证 CD是 O的切线 2 若3AEDE 求AF的长 8 2016 海淀二模 如图 在 ABC中 C 90 点E在AB上 以AE 为直径的 O切BC于点D 连接AD 1 求证 AD平分 BAC 2 若 O的半径为 5 sin DA

11、C 5 5 求BD的长 9 2016 石景山一模 如图 在 ABC中 AB AC 以AC为直径作 O交BC于点D 过点 D作 O的切线 交AB于点E 交CA的延长线于点F 1 求证 EF AB 2 若 C 30 6EF 求EB的长 10 2016 石景山中考二模 如图 在 Rt ACB中 C 90 D是AB上一点 以BD为直 径的 O切AC 于点E 交BC于点F 连接DF 1 求证 DF 2CE 2 若BC 3 sinB 5 4 求线段BF的长 11 2016 通州一模 如图 已知AB是 O的直径 点P在BA的延长线上 PD切 O于点 D 过点B作BE PD 交PD的延长线于点C 连接AD并延

12、长 交BE于点E 1 求证 AB BE 2 连结OC 如果PD 2 3 ABC 60 求OC的长 12 2016西城二模 如图 四边形ABCD内接于 O 点E在CB的延长线上 连接AC AE ACB BAE 45 1 求证 AE是 O的切线 2 若AB AD AC 2 2 tan ADC 3 求 CD的长 13 2016 西城一模 如图 在ABCV中 AB是Oe的直径 AC与Oe交于点D 点 E在 BD上 连接DE AE 连接CE并延长交AB于点F AEDACF 1 求证 CFAB 2 若4CD 4 5CB 4 cos 5 ACF 求EF的长 参考答案参考答案 考点考点一 一 切线的性质与判定

13、切线的性质与判定 例 1 1 2 3 变式 1 C变式 2 C 例 2 C 变式 1 B变式 2 C变式 3 A 例 3 O 与 BC AC AB 三边分别切于 E F D 点 AD AF BE BD CE CF BC BE CE 6 BD CF 6 AD AF A 60 ADF 是等边三角形 AD AF DF AB AC BC 16 BC 6 AB AC 10 BD CF 6 AD AF 4 AD AF DF DF AF AD 4 2 变式 1 解 如图 设 DC 与 O 的切点为 E PA PB 分别是 O 的切线 且切点为 A B PA PB 7cm 同理 可得 DE DA CE CB

14、则 PCD 的周长 PD DE CE PC PD DA PC CB PA PB 14cm 故 PCD 的周长是 14cm 变式 2 解 设 AD AE x BD BF y CE CF z 则有 解得 x 4 因此 AD 4 故答案为 4 例 4 C 变式 1 D 例 5 C变式 1 A变式 2 相切 例 6 解答 如图所示 连接 延长交于 连接 是直径 点在上 直线与相切 变式 1 解答 1 连接 因为 所以 因为 所以 又是的直径 所以 即 所以是的切线 2 因为 所以 所以 因为 所以 所以 因为 所以 因为 是的切线 所以 所以即 解得 变式 2 解答 1 连接 又 是直径 即 是的切线

15、 2 在中 例 7 解析 1 证明 连接 OD 如图所示 DF 是 O 的切线 D 为切点 OD DF ODF 90 BD CD OA OB OD 是 ABC 的中位线 OD AC CFD ODF 90 DF AC 2 解 CDF 30 由 1 得 ODF 90 ODB 180 CDF ODF 60 OB OD OBD 是等边三角形 BOD 60 的长 变式 1 解析 1 证明 连接 AD OD 如图所示 AB 为直径 ADB 90 AD BC AC AB 点 D 为线段 BC 的中点 点 O 为 AB 的中点 OD 为 BAC 的中位线 OD AC DF AC OD DF DF 是 O 的切

16、线 2 解 在 Rt CFD 中 CF 1 DF tan C CD 2 C 60 AC AB ABC 为等边三角形 AB 4 OD AC DOG BAC 60 DG OD tan DOG 2 S阴影 S ODG S扇形OBD DG OD OB2 2 例 8 解析 1 证明 连接 OB 如图所示 AC 是 O 的直径 ABC 90 C BAC 90 OA OB BAC OBA PBA C PBA OBA 90 即 PB OB PB 是 O 的切线 2 解 O 的半径为 2 OB 2 AC 4 OP BC C BOP 又 ABC PBO 90 ABC PBO 即 BC 2 变式 1 解析 证明 1 如图 1 作 OH PE OHP 90 PAE 90 OHP OAP PO 是 APE 的角平分线 APO EPO 在 PAO 和 PHO 中 PAO PHO OH OA OA 是 O 的半径 OH 是 O 的半径 OH PE 直线 PE 是 O 的切线 2 如图 2 连接 GH BC PA PB 是 O 的切线 DB DA DC CH PBC 的周长为 4 PB PC BC 4 PB PC D