《解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章教案资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章教案资料（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章矢量与坐标 1 1 矢量的概念 1 下列情形中的矢量终点各构成什么图形 1 把空间中一切单位矢量归结到共同的始点 2 把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点 3 把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点 4 把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点 解 1 单位球面 2 单位圆 3 直线 4 相距为2 的两点 2 设点 O 是正六边形ABCDEF 的中心 在矢量OA OB OC OD OE OF AB BC CD DE EF 和FA中 哪些矢量是相等的 解 如图 1 1 在正六边形ABCDEF 中 相等的矢量对是 图 1 1 DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和 和
2、 和 和 和 3 设在平面上给了一个四边形ABCD 点 K L M N 分别是边 的中点 求证 KL NM 当 ABCD 是空间四边形时 这等式是否也成立 证明 如图 1 2 连结 AC 则在BAC 中 KL 2 1 AC KL与AC方向相同 在 DAC 中 NM 2 1 AC NM与AC方向相同 从而 KL NM 且KL与NM方向相同 所以KL NM 4 如图 1 3 设 ABCD EFGH 是一个平行六面 体 在下列各对矢量中 找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量 1 AB CD 2 AE CG 3 AC EG 4 AD GF 5 BE CH 解 相等的矢量对是 2 3 和 5 互为反矢量
3、的矢量对是 1 和 4 1 2 矢量的加法 1 要使下列各式成立 矢量ba 应满足什么条件 1 baba 2 baba 3 baba 4 baba 图 1 3 A F B E C O 5 baba 解 1 ba 所在的直线垂直时有baba 2 ba 同向时有 baba 3 ba且ba 反向时有 baba 4 ba 反向时有 baba 5 ba 同向 且ba时有 baba 1 3 数量乘矢量 1 试解下列各题 化简 bayxbayx 已知 3212eeea 321 223eeeb 求ba ba和ba23 从矢量方程组 byx ayx 32 43 解出矢量x y 解 aybxbyaybxaxbya
4、ybxaxbayxbayx22 31321321 42232eeeeeeeeba 321321321342 223 2eeeeeeeeeba 321321321 7103 223 2 2 323eeeeeeeeeba 2 已知四边形ABCD中 caAB2 cbaCD865 对角线AC BD的中 点分别为 E F 求EF 解 cbacacbaABCDEF533 2 2 1 865 2 1 2 1 2 1 3 设 baAB5 baBC82 3baCD 证明 A B D三点共线 证明 ABbababaCDBCBD5 382 AB与BD共线 又 B为公共点 从而A B D三点共线 4 在四边形ABCD
5、中 baAB2 baBC4 baCD35 证明ABCD 为梯形 证明 BCbabababaCDBCABAD2 4 2 35 4 2 AD BC ABCD为梯形 6 设 L M N 分别是 ABC 的三边 BC CA AB 的中点 证明 三中线矢量AL BM CN可 以构成一个三角形 证明 2 1 ACABAL 2 1 BCBABM 2 1 CBCACN 0 2 1 CBCABCBAACABCNBMAL 从而三中线矢量CNBMAL 构成一个三角形 7 设 L M N 是 ABC 的三边的中点 O 是任意一点 证明 OBOA OC OL OM ON 证明 LAOLOA MBOMOB NCONOC
6、NCMBLAONOMOLOCOBOA CNBMALONOMOL 由上题结论知 0CNBMAL ONOMOLOCOBOA 8 如图 1 5 设 M 是平行四边形ABCD 的中心 O 是任意一点 证明 OA OB OC OD 4OM 证明 因为OM 2 1 OA OC OM 2 1 OB OD 所以2OM 2 1 OA OB OC OD 所以 OA OB OC OD 4OM 9在 平 行 六 面 体ABCDEFGH 参 看 第 一 节 第4题 图 中 证 明 AGAHAFAC2 证明AGCGFGAFACDHADAFACAHAFAC2 图 1 5 10 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上 下两底边
7、且等于它们长度和的一半 证明已知梯形ABCD 两腰中点分别为 M N 连接 AN BN DNADMAANMAMN CNBCMBBNMBMN BCADMN 即 2 1 BCADMN 故MN平行且等于 2 1 BCAD 11 用矢量法证明 平行四边行的对角线互相平分 证明 如图 1 4 在平行四边形ABCD 中 O 是对角线AC BD 的交点 但 OBODOCOA OBOCOAOD BCAD OBOCBC OAODAD 由于 OCOA AC ODOB BD而AC不平行于BD 0OBODOCOA 从而 OA OC OB OD 12 设点 O 是平面上正多边形A1A2 An的中心 证明 1 OA 2
8、OA n OA 0 证明 因为 1 OA 3 OA 2 OA 2 OA 4 OA 3 OA 1nOA 1OA nOA nOA 2OA 1OA 所以2 1 OA 2OA n OA 1 OA 2 OA n OA 所以 2 1 OA 2 OA n OA 0 显然 2 即 2 0 所以 1 OA 2 OA n OA 0 13 在 12 题的条件下 设P是任意点 证明 POnPAPAPA n21 证明 0 21n OAOAOA 0 21 POPAPOPAPOPA n 图 1 4 即POnPAPAPA n21 1 4 矢量的线性关系与矢量的分解 1 在平行四边形ABCD 中 1 设对角线 bBDaAZ求
9、DACDBCAB 解 abDAabCDabBCabAB 2 1 2 1 2 1 2 1 设边 BC 和 CD 的 2 中点 M 和 N 且 qANPAM 求 CDBC 解 PqPPqMCBCPqAC3 2 1 22 2 1 pqqqpACANCNCD 2 1 2 1 222 2 在平行六面体ABCD EFGH中 设 321 eAEeADeAB三个 面上对角线矢量设为 rAFqAHpAC试把矢量rqpa写成 321 eee 的线性组合 证明 2312 eeqAHeepAC 13 eerAF AFAHACa 321 eee 3 设一直线上三点A B P 满足AP PB 1 O 是空间任意一点 求证
10、 OP 1 OBOA 证明 如图 1 7 因为 AP OP OA PB OB OP 所以OP OA OB OP 1 OP OA OB 从而OP 1 OBOA 4 在ABC中 设 1 eAB 2 eAC 图 1 7 1 设ED 是边BC三等分点 将矢量AEAD 分解为 21 e e的线性组合 2 设AT是角A的平分线 它与BC交于T点 将AT分解为 21 e e的线性组合 解 1 1212 3 1 3 1 eeBCBDeeABACBC 21112 3 1 3 2 3 1 3 1 eeeeeBDABAD 同理 12 3 1 3 2 eeAE 2 因为 TC BT 1 1 e e 且BT与TC方向相
11、同 所以BT 2 1 e e TC 由上题结论有 AT 1 2 1 2 2 1 1 e e e e e e 21 2112 ee eeee 5 在四面体OABC中 设点G是ABC的重心 三中线之交点 求矢量OG对于矢量 OCOBOA 的分解式 解 G是ABC的重心 连接AG并延长与BC 交于 P ACABACABAPAGACABAP 3 1 2 1 3 2 3 2 2 1 同理CBCACGBCBABG 3 1 3 1 C O BCABOAAGOAOG 3 1 1 G P BCBAOBBGOBOG 3 1 2 A B CBCAOCCGOCOG 3 1 3 图 1 由 1 2 3 得 CBCABC
12、BAACABOCOBOAOG 3 1 3 1 3 OCOBOA 即OCOBOAOG 3 1 6 用矢量法证明以下各题 1 三角形三中线共点 证明 设BC CA AB 中 点分别为L M N AL 与 BM 交于 1 P AL 于 CN 交于 2 P BM 于 CN 交于 3 P 取空间任一点O 则A BCBAOBBMOBBPOBOP 3 1 3 2 11 OCOBOAOBOCOBOAOB 3 1 3 1 A 同理OCOBOAOP 3 1 2 N M OCOBOAOP 3 1 3 B L C 321 PPP三点重合O 三角形三中线共点 图 2 第 3 页 7 已知矢量ba 不共线 问bac2与b
13、ad23是否线性相关 证明 设存在不全为0 的 使得0dc 即0232022babba 故由已知ba 不共线得 0 0 032 02 与假设矛盾 故不存在不全为0 的 使得 0dc成立 所以dc 线性无关 8 证明三个矢量a 1 e 32e 23 e b 4 1 e 62e 23 e c 3 1 e 122e 113 e 共面 其中a能否用b c线性表示 如能表示 写出线性表示关系式 证明 由于矢量 1 e 2 e 3 e 不共面 即它们线性无关 考虑表达式a b vc 0 即 1 e 3 2 e 2 3 e 4 1 e 6 2 e 2 3 e v 3 1 e 12 2 e 11 3 e 0
14、或 4 3v 1 e 3 6 12v 2 e 2 2 11v 3 e 0 由于 1 e 2 e 3 e 线性无关 故有 01122 01263 034 v v v 解得 10 1 v 2 由于 10 0 所以a能用b c线性表示 a 10 1 b 5 1 c 9 证明三个矢量accbba 共面 证明 0accbba 三个矢量线性相关 从而三个矢量共面 OC OB OA OB 所以BC BA 从而BC BA 故A B C 三点共线 1 5 标架与坐标 3 在空间直角坐标系 O kji 下 求 P 2 3 1 M a b c 关于 1 坐标平面 2 坐标轴 3 坐标原点的各个对称点的坐标 解 M
15、a b c 关于 xOy 平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 yOz 平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 xOz 平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 x 轴平面的对称点坐标为 a b c M a b c 关于 y 轴的对称点的坐标为 a b c M a b c 关于 z 轴的对称点的坐标为 a b c 类似考虑P 2 3 1 即可 8 已知矢量a b c的分量如下 1 a 0 1 2 b 0 2 4 c 1 2 1 2 a 1 2 3 b 2 1 0 c 0 5 6 试判别它们是否共面 能否将c表成a b的线性组合 若能表示 写出表示式 解
16、 1 因为 121 420 210 0 所以a b c三矢量共面 又因为a b的对应坐标成比例 即a b 但ca 故不能将c表成a b的线性组合 2 因为 650 012 321 0 所以a b c三矢量共面 又因为a b的对应坐标不成比例 即ab 故可以将c表成a b的线性组合 设c a b 亦即 0 5 6 1 2 3 2 1 0 从而 63 02 02 解得 2 1 所以c 2a b 7 已知 A B C 三点坐标如下 1 在标架 21 eeO下 4 2 2 2 1 0CBA 2 在标架 321 eeeO下 4 3 2 2 0 1 0 1 0CBA 判别它们是否共线 若共线 写出AB和AC的线形关系式 解 1 因为 3 2 3 2ACAB 所以ACAB共线 2 4 2 2 2 1 1ACAB 设ACAB 但不存在 所以CBA 不共线 得 63 52 02 所以 1 2 9 已知线段AB 被点 C 2 0 2 和 D 5 2 0 三等分 试求这个线段两端点A 与 B 的坐标 答 A 1 2 4 B 8 4 2 10 证明 四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点 且这点到顶点的距离
