《弹性力学简明教程第二章2.10》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学简明教程第二章2.10（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2-10 2-10 应力函数应力函数常体积力常体积力一一. 常体力情况下的简化常体力情况下的简化当体力为常量时，当体力为常量时，（2-212-21）容容简化为简化为：(2-21a)2-21a)(2-21b)2-21b)拉普拉斯算子拉普拉斯算子（222） 注意注意:在常体力情况下,(2-2)平、(2-22)容和(2-15)边中都不包含弹性常数，而且对于两种平面问题都是相同的。因此，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体满足：a a.相同的边界形状，b b.受同样分布的外力，则不管两个弹性体的材料是否相同，也不管是在平面应力还是平面应变情况下，应力分量 的分布都是相同的。 应用：应用：a a.用
2、实验方法量测结构的应力分量时；b b.平面应力情况下的薄板模型代替平面应变情况下的长柱形结构。c.c.在常体力情况下，对于单连体的应力边界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便解答问题和实验量测。设原问题中应力分量 满足： (a)(b)(c)(d)比较(a),(b),(c),(d)，得到 满足：体力为零的平衡微分方程和面力分量分别增加了 和 的应力边界条件。 于是得到求解原问题的办法：先不计体力，而对弹性体施加代替体力的面力分量 和 ，求出 以后，再在 和 上叠加上和 ，即得原问题的应力分量。例如：如图所示深梁在重力作用下的应力分析(p为深梁的容重)。先不计体力，而施以代替体力的面力。
3、CABDEFhhC CABDEF2phphxyxyp二二. .应力函数应力函数为非齐次偏微分方程组为非齐次偏微分方程组结论：结论： 当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（问题，可归结为根据（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容求出求出应力分量应力分量 ,并要求在边界上满足应力边界条件并要求在边界上满足应力边界条件（2-152-15）边边及位移单值条件。及位移单值条件。研究（研究（2-2）平平及（及（2-22）容容的求解的求解（222222）1.1.对应的齐次偏微分方程的通解对应的齐次偏微分方程的通解所以所以, ,必存
4、在一个具有全微分的函数必存在一个具有全微分的函数A( (x，y) ) 根据微分方程解的理论，根据微分方程解的理论，(22(22）平平的解由两部分的解由两部分组成：通解及其一个特解。组成：通解及其一个特解。由第一式有由第一式有全微分充要条件全微分充要条件由第二式有：由第二式有：（a）（b）(d)（c） 同理：根据全微分充要条件，同样存在另一个同理：根据全微分充要条件，同样存在另一个函数函数B(x，y) )比较比较（ a）（）（ d ）两式两式对应的齐次偏微分方程的通解：对应的齐次偏微分方程的通解：平面应力函数（平面应力函数（AiryAiry应力函数应力函数）同理可以找到一个函数同理可以找到一个函
5、数(x，y) )，有，有2.2.非齐次方程特解非齐次方程特解3.3.平衡方程平衡方程的解的解（2-23）将将（2-23）代入（2-22）容容（2-22）容容可记为可记为： 或这里这里（x，y）为双调和函数为双调和函数注：满足注：满足的的函数称调和函数函数称调和函数展开后展开后：（224）结论：结论：1.1.当当应力函数应力函数为满足双调和方程的双调和函数时为满足双调和方程的双调和函数时（223223）可以同时满足）可以同时满足（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容，故，故（223223）为）为（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容的解。的解。（224224）为用应力函数
6、表示的相容方程。）为用应力函数表示的相容方程。2.2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（问题，可归结为根据（2-242-24）容容求出应力函数求出应力函数 ，然后由平衡方程的解然后由平衡方程的解（223223）求出应力分量求出应力分量 ，并要求在边界上满足应力边界条件（并要求在边界上满足应力边界条件（2-152-15）边边，及，及位移单值条件（多连体时）。位移单值条件（多连体时）。 多连体的位移单值条件多连体的位移单值条件 单连体：具有一个连续的边界单连体：具有一个连续的边界。多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。多连体
7、：具有两个以上互不相交的连续的边界。位移单值条件：一点处的位移是单值位移单值条件：一点处的位移是单值的。的。*按应力求解时，对于多连体，要利用位移单按应力求解时，对于多连体，要利用位移单值条件，才能完全确立应力分量。值条件，才能完全确立应力分量。 例题例题 解：解：1.1.满足平衡微分方程满足平衡微分方程将将 x= = y= =- -q, , xy=0=0代入代入故满足故满足平衡方程平衡方程qxyqO条件，也满足位移单值条件，是问题的解条件，也满足位移单值条件，是问题的解。任意形状等厚度薄板全部边界上受均布压力任意形状等厚度薄板全部边界上受均布压力q，试试证明：证明：满足平衡方程、相容方程和应
8、力边界满足平衡方程、相容方程和应力边界2.2.满足相容方程满足相容方程3.3.满足边界条件满足边界条件：将将 x= = y=-=-q, , xy=0=0代入，自然满足代入，自然满足qqlqmxy x y yx xy将x=y=-q,xy=0，代入4.4.位移单值条件位移单值条件：2 2）求位移）求位移：满足1 1）求应变：）求应变：（1）（2）（3）代入（代入（3）得）得于是有于是有 ：由（由（1）式积分）式积分由（由（2）式积分）式积分 由于所给应力解答满足平衡微分方程、相容方由于所给应力解答满足平衡微分方程、相容方 程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通域满足位移单值条件，故为问题的解。域满足位移单值条件，故为问题的解。积分：积分：上式为线性函数，为单值函数。上式为线性函数，为单值函数。1、平衡微分方程、平衡微分方程（2-2）公式2、相容方程、相容方程3、应力边界条件、应力边界条件（2-22）（2-15）
