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1、一维波动方程的 达朗贝尔解法 第七章第七章 行波法行波法2 2 在求解常微分方程时在求解常微分方程时 一般先求方程通解一般先求方程通解 通解含有任意通解含有任意 常数常数 再利用初始条件确定这些常数再利用初始条件确定这些常数 本节介绍的本节介绍的行波法行波法仿照这个办法求解偏微分方程定解问题仿照这个办法求解偏微分方程定解问题 先求偏微分方程的通解先求偏微分方程的通解 而通解含有任意函数而通解含有任意函数 在利用定在利用定 解条件确定这些函数解条件确定这些函数 行波法是求解行波法是求解无界域无界域内定解问题的有效方法内定解问题的有效方法 但是只适用但是只适用 于很少数的定解问题于很少数的定解问题
2、 如波动方程如波动方程 第七章第七章 行波法行波法3 3 22 2 22 0 0 0 t uu axt tx u xx x u xx 考虑考虑无限长的弦无限长的弦 无界弦无界弦 的自由振动问题的自由振动问题 一一 一维波动方程的达朗贝尔解法一维波动方程的达朗贝尔解法 没有边界条件没有边界条件 第七章第七章 行波法行波法4 4 注注 无限长的弦无限长的弦 无界弦无界弦 的物理意义的物理意义 物理系统总是有限的物理系统总是有限的 必然有边界必然有边界 要求边界条件要求边界条件 以弦以弦 振动问题为例振动问题为例 弦总是有限长的弦总是有限长的 由两个端点由两个端点 如果着重研究靠近一端的那段弦如果着
3、重研究靠近一端的那段弦 那么那么 在不太长的时间在不太长的时间 里里 另一端的影响还没来得及传到另一端的影响还没来得及传到 不妨认为另一端的边不妨认为另一端的边 界条件不存在界条件不存在 或者说另一端在无限远或者说另一端在无限远 当然就无需提出当然就无需提出 另一端的边界条件了另一端的边界条件了 这样这样 有限长的真实的弦抽象成有限长的真实的弦抽象成半半 无界无界弦弦 如果着重研究不靠近两个端点的那段弦如果着重研究不靠近两个端点的那段弦 不妨认为两个端不妨认为两个端 点都不存在点都不存在 或者说两端都在无限远或者说两端都在无限远 也就无需提出边界也就无需提出边界 条件了条件了 这样有限长的真实
4、弦抽象成这样有限长的真实弦抽象成无界无界的弦的弦 第七章第七章 行波法行波法5 5 0 2 2 2 2 2 x u a t u 这就提示我们作如下变换这就提示我们作如下变换 该方程的特征方程为该方程的特征方程为 222 0 dxa dt xat xat 则方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式则方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式 0 2 u 将方程先对 积分一次可得 0 u f u 再对 积分一次可得 ufdGFG 即即 第七章第七章 行波法行波法6 6 回到原来的变量回到原来的变量x及及t 得到泛定方程得到泛定方程 的解的一般形式的解的一般形式 即其即其通解通解为为 其中其中F及及G
5、为任意的单变量的二阶连续可微函数为任意的单变量的二阶连续可微函数 u x tF xatG xat 由上式可见由上式可见 自由弦振动方程的解可以表示为形如自由弦振动方程的解可以表示为形如F x at 与与 G x at 的两个函数之和的两个函数之和 0 2 2 2 2 2 x u a t u 第七章第七章 行波法行波法7 7 物理解释物理解释 其中其中 u F x at 描写的是描写的是沿沿x轴正方向传播的行波轴正方向传播的行波 右传播波右传播波 方程的形如方程的形如u F x at 或或u G x at 的解称为的解称为行波行波 改用以速度改用以速度a沿沿x轴正方向移动的坐标轴轴正方向移动的坐
6、标轴X 则动坐标则动坐标X和静坐和静坐 标标x之间的关系是之间的关系是X x at 于是于是 F x at F X 这是说这是说 在动坐标系中在动坐标系中 函数的值只取决于坐标函数的值只取决于坐标X 而跟时间而跟时间 无关无关 即函数的图像相对于动坐标系保持不变即函数的图像相对于动坐标系保持不变 即随着动坐即随着动坐 标以速度标以速度a沿沿x正方向移动正方向移动 这正是行波这正是行波 u G x at 则表示以速度则表示以速度a向左传播的波向左传播的波 称为称为左传播波左传播波 第七章第七章 行波法行波法8 8 F xat F x at G x G xat at 右传播波右传播波 左传播波左传
7、播波 第七章第七章 行波法行波法9 9 弦振动方程的通解弦振动方程的通解 的的物理意义物理意义为为 对于无限长的弦的自由振动对于无限长的弦的自由振动 任意扰动总是以任意扰动总是以行波行波的形的形 式向左右两个方向传播出去式向左右两个方向传播出去 波速为波速为a u x tF xatG xat aT 弦张得越紧弦张得越紧 弦的线密度越小弦的线密度越小 则波速越快则波速越快 第七章第七章 行波法行波法1010 通解中代入初始条件通解中代入初始条件 可得可得 xxaGxaF xxGxF 1 2 将将 1 式两端关于式两端关于 x 求导一次求导一次 得得 xxGxF 3 由由 2 3 两式两式 解得解
8、得 2 1 2 1 xxa a xG xxa a xF 至于行波的具体波形至于行波的具体波形 当然和它的当然和它的 历史历史 有关有关 即取决于即取决于 初始条件初始条件 0 0 t u xx u xx 第七章第七章 行波法行波法1111 再将以上两式在再将以上两式在 0 x 积分得积分得 0 0 11 0 0 22 11 0 0 22 x x F xxdF a G xxdG a 由由 F xG xx 得得 0 0 00 FG u x tF xatG xat 于是原定解问题的解为于是原定解问题的解为 0 1 22 x at xatxat d a 0 1 0 0 0 2 x at dFG a 第
9、七章第七章 行波法行波法1212 上式称为上式称为达朗贝尔公式达朗贝尔公式 1 22 x at x at u xatxat d a x t 22 2 22 0 0 0 t uu axt tx u xx x u xx 无限长的弦无限长的弦 无界弦无界弦 的自由振动问题的自由振动问题 解为解为 第七章第七章 行波法行波法1313 例例 求解弦振动方程的柯西问题求解弦振动方程的柯西问题 22 22 0 0 0 0 sin uu tx tx u x u xxxx t 解解 由达朗贝尔公式可得其解为由达朗贝尔公式可得其解为 tx tx dtxtxtxu sin 2 1 2 1 cos 2 1 tx tx
10、 x sin sinxxt 第七章第七章 行波法行波法1414 考虑考虑无界弦的强迫振动无界弦的强迫振动问题问题 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 xu xu xttxf x u a t u t 齐次化原理齐次化原理的基本思想是把非齐次方程的求解问题转化为相的基本思想是把非齐次方程的求解问题转化为相 应的齐次方程的情况来处理应的齐次方程的情况来处理 从而可以直接利用前面有关齐次从而可以直接利用前面有关齐次 方程的结果来求解方程的结果来求解 4 二二 齐次化原理齐次化原理 第七章第七章 行波法行波法1515 的解的解 其中其中为参数为参数 tx 22 2 22 0 t at tx xxf
11、x dtxtxu t 0 若若是定解问题是定解问题 就是定解问题就是定解问题 4 4 的解的解 5 5 则则 6 22 2 22 0 0 0 0 0 t uu af x ttx tx u xu x 4 第七章第七章 行波法行波法1616 xx xx f x y dyfx y dyf xxxf xxx 00 0 tt tt t t u x tx tdx tdx t t x td 利用含参变量积分的求导公式利用含参变量积分的求导公式 0 x t t 直接求导验证上述结论直接求导验证上述结论 第七章第七章 行波法行波法1717 00 tt tttttt ux tx tdx tdx t t 0 00
12、0 0 0 0 0 t tt t u xx tdu xx tdx t t 0 0 xxxx t t u x tx td ux tx td 2 xx a ux tf x t 0 t tt u x tx td 22 2 22 a tx 2 0 t xx ax tdf x t 2 xxtt x tua ux tf x t 即函数即函数u x t 满足定解问题满足定解问题 4 中的方程中的方程 下面验证下面验证u x t 满足定解问题满足定解问题 4 中的初始条件中的初始条件 dtxtxu t 0 是定解问题是定解问题 4 4 的解的解 则则 第七章第七章 行波法行波法1818 22 2 22 0 t
13、 at tx xxf x 5 5 于是将求解定解问题于是将求解定解问题 4 4 转化为求解定解问题转化为求解定解问题 5 5 令令 tt并记并记 txtx 则定解问题则定解问题 5 可化为以下的形式可化为以下的形式 22 2 22 0 0 0 0 t at tx xxf x 第七章第七章 行波法行波法1919 由达朗贝尔公式知其解为由达朗贝尔公式知其解为 df a tx t ax t ax 2 1 换回原变量换回原变量 则得则得 df a tx tax tax 2 1 代入代入 6 式式 得到定解问题得到定解问题 4 的解为的解为 ddf a txu tax tax t 2 1 0 0 6 t
14、 u x tx td 上述过程基于上述过程基于持续外力的作用可以经过离散化而转化为初速持续外力的作用可以经过离散化而转化为初速 度度 在数学上表现为方程的非齐次项在数学上表现为方程的非齐次项f x t 转化为解对时间转化为解对时间t的的 导数所满足的初始条件导数所满足的初始条件 这种思想称为这种思想称为齐次化原理齐次化原理 又称又称 Duhamel原理原理 第七章第七章 行波法行波法2020 进一步我们可考虑求解下面的定解问题进一步我们可考虑求解下面的定解问题 22 2 22 0 0 0 t uu af x ttx tx u xxu xx 7 利用叠加原理利用叠加原理 把上述定解问题可分解为以
15、下两个定解问题把上述定解问题可分解为以下两个定解问题 0 0 2 2 2 2 2 xxuxxu x u a t u t 0 0 0 0 2 2 2 2 2 xuxu txf x u a t u t 和和 这两个定解问题的这两个定解问题的解的和解的和即是即是 7 的解的解 第七章第七章 行波法行波法2121 所以由达朗贝尔公式和齐次化原理可得定解问题所以由达朗贝尔公式和齐次化原理可得定解问题 22 2 22 0 0 0 t uu af x ttx tx u xxu xx 7 的解为的解为 0 11 22 1 2 x at x at t x a t x a t u x txatxatd a fd d a 第七章第七章 行波法行波法2222 例例 求解下列初值问题求解下列初值问题 22 22 2 0 0 0 sin uu xtx tx u x u xxxx t 解解 由公式可得其解为由公式可得其解为 2 0 11 sin sin 22 1 2 sin cos 2 x t x t t xt xt u x txtxtd d dxtxtxt
