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1、如何获取更多的利润 例1 某商场以每件45元的价钱购进一种服装,根据试销得知,这种服装每天的销量T(件)与每件的销售价x(元/件)可以看报是一次函数:T3x207(45x69) (1)写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式(每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购过价的差)。 (2)通过对所得出函数关系式配方,指出商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适?最大销售利润是多少? 分析:每天总销售价为Tx,即(3x207)x,每天销售的T件服装的进价为45T,即45(3x207),而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润,而对于第(2)小题应将已得的
2、二次函数配方,画出其函数图像,结合其自变量的取值范围确定最佳售价。 解:(1)由题意得: Y(3x207)x45(3x207) (3x207)(x45)(45x69) (2)由(1)知 y(3x207)( x45) 3(x2114x3105) 3(57)2 432(45x69) 由图像知开口向下,存在最大值,且455769。当x57时 Ymax432亲爱的同学,若请你帮该商场决策,你知道每件售价是多少最为合适吗?评述:本题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题,而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考,不过本题可以作一些延伸: 1本题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间
3、呢? 2该服装的售价可以超过69元吗? 3该函数的图像还可以向两端延伸吗? 例2 共产品每件的成本价是120元,试销阶段中每件产品的销售价x(元)与产品的月销售量y(件)之间的关系如下表:x(元)130150165y(件)705035 若月销售量y是销售价x的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售应为多少元?此时每日的销售利润是多少? (销售利润销售价成本价) 分析:从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题,形式多样,涉及的知识点比较广,且须注意知识的有机的融合,是近几年中考函数类应用性试题出现的变化和特点。该题涉及一次函数、二次函数。建立二次函
4、数需要领会题意,并在此基础上求函数的最值。以销售为数学模型的函数应用题,既考查了学生的知识,又考查了学生的能力。 “销售利润销售价成本价”这是题目给出的式子,因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关。每日的销售利润应是每日销售量y(件)与每件产品销售利润的积。这是解决此题的关键,也是营销问题中的常识。 以表格形式给出了x(元)与y(件)的对应关系,并进而指出销售量y是销售价x的一次函数,为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性。 在分析与综合的基础上,每日的销售利润应是y(x的一次函数)与每件产品销售利润(x的一次函数)的积,实质为x的二次函数,于是求函数的最值,就是求日最大利润的问题了。
5、 在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意。例如,销售价x元一般不能低于成本价,否则要亏本,更无从谈利润;销售量只能是非负数等。 解:设ykxb,当x130时,y70;当x150时,y50,得方程组:解得: yx200 设每日销售利润为Z元,每件产品的销售利润是(x120)元,于是当时, 即当每件产品的销售价定为160元时,每日的销售利润最大,最大利润为1600元。 例3 某剧院设有1000个座位,门票每张3元可达客满,据长期的营业进行市场估计,若每张票价提高x元,将有200x张门票不能售出。 (1)求提价后每场电影的票房收入y(元)与票价提高量x(元)之间的函数关系式和自变量x的取值范围。
6、(2)若你是经理,你认为电影院应该怎样决策(提价还是不提价),若提价,提价多少为宜? 分析:若提价x元后,则每张票价变为(x3)元,出售的门票总数为:(1000200x)张,则票房的收入变为:(x3)(1000200x)。 至于电影院到底应该怎样决策,显然票房的收入y是提高的价x的二次函数,可以对其进行配方,进而求出最高的提价。 解:(1)由题意知: 又 x的取值范围是: (2) 又当时,。 电影院应每张门票提价1元为宜。 接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题。亲爱的同学,你能试着顺利地完成它吗? 例4 某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B
7、两种产品共50件。已知生产一件A种产品,需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元。 (1)按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你给设计出来。 (2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元),其中一种的生产件数为x,试写出y与x元间的函数关系式,并利用函数的性质说出(1)中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少? 分析:本题是生产经营决策问题。在市场经济竞争十分激烈的今天,帮助学生学会比较,学会挥优决策,是素质教育的要求,也是近年中考的热门题型。本题所涉及的知识点有:不等式(组)、一次函数。解
8、决这类问题的关键是,建立相应的数学模型。 (1)A、B两种产品的生产件数,受总件数50和所需两种原料库存量的制约。所以可由此得出不等组,从而确立A、B两种产品生产件数的范围,通过进一步讨论可选择其生产方案。 (2)列出总利润与产品生产数量之间的函数关系,根据函数的增减性质,就可以解决本题。 解:(1)设安排生产A种产品。件,则生产B件产品(50x)件。依题意,得 解之,得 x为整数,x只能取30,31,32。 相应的(50x)的组为20,19,18。 所以生产的方案有三种: 第一种:生产A种产品30件,B种产品20件; 第二种:生产A种产品31件,B种产品19件; 第三种:生产A种产品32件,
9、B种产品18件。 (2)设生产A种产品件数为x,则生产B种产品的件数为50x。 依题意,得 其中x只能取30 、31、32, 此一次函数中y随x的增大而减小。当x30时,y的值最大。 故按第一种方案安排生产,获总利润最大,最大利润为:500306000045000元。 例5 某工厂计划出售一种产品,固定成本为2000000元,球台生产成本为3000元,销售收入为5000元。求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系,并作出简要分析。 解:总成本与总产量的关系 Q20000003000x, 单位成本与总产量的关系 销售收入与总产量的关系:R5000x。 利润与总产量的关系。
10、 分析:从利润关系式可见,欲求较大的利润,应增加产量(在不考虑销售的情况下),若x1000,则要亏损;若x1000,则利润为零;若x1000,则可盈利。这一点也可以从上面的图像中看出,两条直线的交点就是平衡点。 从单位成本与总产量呈反比例的关系可见,为了降低成本,应增加产量,这样才能降低成本,形成规模效益。例6 今拟建一排4门的猪舍(如图),由于材料的限制,围墙和墙的总长度只能造p米,问x为多少时,猪舍面积最大?当米时,猪舍面积最大。答:米时,猪舍面积最大。说明:本题列式的关键,在于找出长方形的长和宽。对于求极值,是否采用配方法,则可以根据自己的习惯,本题所用的配方法是解决此类问题的通法。 现
11、代生活中,信息显得十分重要,而报纸作为大众传媒的一种,是一种传递信息的重要载体。正因如此,我们很多人都有抽空着报纸的习惯。下面我们就来研究一下报摊卖报的问题,请你帮助业主设计一下最佳办法。 例7 某市一家报摊从报社买进晚报的价格是每份0.12元,卖出的价格是每份0.20元,卖不掉的以每份0.04元退回报社,在一个月(30天)里,有20天每天可销售400份,其余的10天仅售250份。但每天从报社买的份数必须相同,他应每天从报社购多少份,才能使每月所获利润最大?最大利润是多少? 分析:本题应通过“售报收入”减去“退报亏损”构造等式,从而解决问题。 解:设每天从报社购进x份(),每月售出(20x10
12、250)份,退回10(x250)份,由于卖出获利,退回亏损均为0.08元,则 y0.08(202500) 0.08(x250)100.8400 这显然是一个k0的一次函数,函数值y随着自变量x的增大而增大的,所以当x400时, ymax720(元)。 答:应每天从报社购400份,才能使每月获利润最大,最大利润是720元。 说明:此题是一道十分典型的应用题。它适用于卖报、卖书、卖书刊。随着数字的变化,可编撰成一道道试题。但是解法却是不变的,应注意此题的解法。 例8 某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上画出一块长方形地面(不改变方向),建造一幢8层楼公寓。问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求
13、出最大面积(精确到 1m2)。 分析:在线段AB上任取一点P,分别向CD、DE作垂线,即可保持原来方位,画得一块长方形土地。显然,土地面积决定于P在AB上的位置。 解:建立如图所示的坐标系,则AB的方程为过A(0,20)、B(30,0)则的一条直线。设直线 AB的方程为y kab则又因为A、B两点在直线上,。由于P点在直线上,故可得P点的坐标为( P点坐标满足函数的解析式),则长方形的面积为:化简得:对函数的解析式进行配方得当时,。 说明:由此题可见,公寓占地面积与楼房层数无关,并非所有信息都是有用的,这也是应用题与通常题目的一个重要区别。 例9 某房屋开发公司用100万元购得一块土地,该地可
14、以建造每层1000平方米的楼房,楼房的总建筑费用与建筑高度有关,楼房升高一层,整幢楼房每平方米建筑费用平均提高5,已知建筑5层楼时,每平方米的建筑费用为400元,为了使该楼每平方米的平均综合费用最省(建筑费用与购地费用之和),公司应把楼建成几层? 解:设该楼建成x层,则根据题意得每平方米的购地费用为:(元) 每平方米的建筑费用为:400400(x5)5(元),所以每平方米的平均综合费用为:即得含费用最少为 可见公司应该把楼房建成7层。 上面的例子是关于建造楼房的问题,在生活中,安居工程确实是老百姓比较关心的问题之一。这一点就是生活在校园内的同学们也有所耳闻。有多少家梦想住人宽广静适的套房啊!下面我们就来研究一下一道关于单位职工住房公积金的问题。 例10 某单位决定位公房的职工必须按基本工资高低交纳建房公积金,办法如下:每月工资数公积金100元以下不交纳100200元交纳超过100元部分的5200300元100200元部分交纳5,200