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1、角平分线的性质一、学习目标l 了解角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；l 掌握角平分线的性质和判定；l 会利用角平分线的性质与判定证明简单的线段相等、角相等问题，并能解决简单的实际问题二、知识回顾1从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线；2直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；3如图，已知ABAD，BCDC，利用全等的方法证明AC是DAB的平分线证明：ABAD，BCDC（已知），AC=AC（公共边），ABCADC，BAC=DAC，AC是DAB的平分线三、新知讲解1角平分线的性质定理文字描述：在角平分线上的点到角的两边的距离相等符号语言：1=2，P
2、DOA，PEOB，PD=PE图示：2角平分线性质定理的逆定理（角平分线的判定定理）文字描述：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上符号语言：PDOA，PEOB，PD=PE，点P在AOB的平分线上（OP是AOB的平分线）图示：3作已知角的平分线已知AOB，求作AOB的平分线作法：（1）如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在AOB的内部交于点C；（3）画射线OC，射线OC即为所求四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1角平分线的性质定理【例1】（2014秋青海校级期中）在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE
3、、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC总结：1角平分线性质定理中的“距离”是指“点到直线的距离”；2利用角平分线的性质时，如果条件中具备两个垂直（即角平分线上的点到直线的距离），证明过程中应直接运用性质定理，而不要去寻找全等三角形，否则就是重新证明了一次结论；3当出现角平分线而没有角平分线上的点到角两边的垂线时，通常先过角平分线上的点向角的两边作垂线段，再利用角平分线的性质解题练1（2015茂名校级一模）如图，ABC中，C=90，AD平分BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A4 B5 C6 D7练2（2015春启东市校级月考）如图，已知在ABC中，BD为AB
4、C的平分线，AB=BC，点P在BD上，PMAD于M，PNCD于N，求证：PM=PN2角平分线的判定定理【例2】（2014秋赤峰校级期中）如图所示，B=C，点D是BC的中点，DEAB，DFAC求证：AD平分BAC总结：1角平分线的性质定理是证明线段相等的一种方法，条件是已知角的平分线，而角平分线的判定定理是证明角相等的一种方法，条件是到已知角的两边的距离相等；2证明某点在角平分线上的常用方法是证明这个点到角的两边的距离相等，这样就把证明“点在线上”的问题转化为“线段相等”的问题，体现了“化难为易，化陌生为熟悉”的转化思想练3（2013秋兴化市校级期中）如图，PB，PC分别是ABC的外角平分线且相
5、交于P求证：P在A的平分线上3角平分线性质的实际应用【例3】有三条交叉公路如图所示，要在三角形区域内建一个加油站，使加油站P到三条公路的距离相等，应建在什么位置？请用尺规作图标出加油站P的位置总结：1. 因为三角形的三条角平分线相交于一点，又角平分线的点到角两边的距离相等，所以三角形角平分线的交点到三边的距离相等2. 要画三角形三条角平分线的交点，只需要画三角形的两条角平分线即可.3. 注意：三角形外角平分线上的点到外角两边的距离也相等，所以三角形外还有3个点到三角形三边所在的直线的距离相等，它们都是两条外角平分线和一条内角平分线的交点.练4如图，直线l1，l2，l3表示三条公路现要建造一个中
6、转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A一处 B二处 C三处 D四处五、课后小测一、选择题1（2014秋荣昌县期末）如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A1 B2 C3 D42（2014春栖霞市期末）在RtABC中，如图所示，C=90，CAB=60，AD平分CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A3.8cm B7.6cm C11.4cm D11.2cm3如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（）A三角形两边高线的
7、交点处 B三角形两边中线的交点处C的平分线上 D和的平分线的交点处二、填空题4（2013秋太康县期末）如图，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=6，BD=4，则点D到AB的距离是 5（2014秋惠安县期末）如图，OC平分AOB，点P是OC上一点，PMOB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM=5，则PN的最小值为 6（2014秋临沭县校级月考）如图，ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线交于点0，则SABO：SBCO：SCAO等于 三、解答题7（2014秋利津县校级月考）如图，在ABC中，AD平分BAC，C=90，DEAB于E，BD=DF，求证：C
8、F=EB8（2013秋黄山校级期末）如图，在RtABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E若DBE的周长为15cm，求AB的长9（2014秋陇西县期末）如图：E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足为C，D求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF10（2013秋临沭县期末）如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，BE=CF求证：AD是ABC的角平分线11（2014秋门头沟区期末）已知：在RtABC中，C=90请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）12（2014秋厦门期中）如图，
9、ABC中，B的平分线与C的外角的平分线交于P点，PDAC于D，PHBA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在HAC的平分线上13（2013秋淮北期末）已知点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC（2）如图2，若点O在ABC内部，求证：AB=AC（3）猜想，若O点在ABC的外部，AB=AC成立吗？典例探究答案：【例1】【解析】依题意知DEAB，DFAC，AD平分BAC，由角平分线性质得DE=DF，已知BD=DC，利用“HL”证明BDECDF即可证明：DEAB，DFAC，AD平分BAC
10、，DE=DF.在RtBDE和RtCDF中，RtBDERtCDF（HL），EB=FC点评：本题考查了角平分线性质的运用，三角形全等的判定和性质关键是寻找证明三角形全等的条件练1【解析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可解：C=90，AD平分BAC，点D到AB的距离等于CD，BC=10，BD=6，CD=BCBD=106=4，点D到AB的距离是4故选A点评：此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等练2【解析】根据角平分线的定义可得ABD=CBD，然后利用“边角边”证明ABD和CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得ADB=CDB，然后根据角平分
11、线上的点到角的两边的距离相等证明即可证明：BD为ABC的平分线，ABD=CBD，在ABD和CBD中，ABDCBD（SAS），ADB=CDB，点P在BD上，PMAD，PNCD，PM=PN点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到ADB=CDB是解题的关键【例2】【解析】由条件可证明BDECDF，可得到DE=DF，可证得结论证明：D是BC的中点，BD=CD.DEAB，DFAC，DEB=DFC.在BDE和CDF中，BDECDF（AAS），DE=DF，D在BAC的平分线上，即AD平分BAC点评：本题主要考查角平分线的判定，掌握在角的内部到角
12、两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键练3【解析】过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC，要证P在A的平分线上，则需证PE=PG，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等就可证明PE=PG证明：过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，ACPB，PC分别是ABC的外角平分线，PE=PH，PH=PG，PE=PGP点在A的平分线上点评：本题主要考查角平分线性质的逆定理准确作出辅助线是解决本题的关键【例3】【解析】分别作ABC与ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点解：加油站P到三条公路的距离相等，P点是ABC的内心，加油站P应该建在三角形内角平分线的交点处如图所示
13、：以点B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交AB、BC于点D、E；分别以点DE为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于点F连接BF，则BF即为ABC的平分线；同理作出ACB的平分线，两条角平分线交于点P，则点P即为所求点点评：熟知角平分线上的点到角两边距离相等的性质是解答此题的关键练4【解析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处故选D点评：此题考查了角平分线的性质此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键课后小测答案：一、选择题1【解析】垂线段最短，当PQOM时，PQ有最小值，又OP平分MON，PAON，PQ=PA=2，故选B2【解析】C=90，CAB=60，B=30，在RtBDE中，BD=2DE
