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1、初中数学须强化的几种解题意识数学学习离不开解题，在解题中应学会“数学”地思维。为此，须着力注意培养以下几种解题意识。一、预测意识“凡事预则立，不预则废”，面对问题要冷静思考，要有一定的直觉判断和预见能力。 例1. 已知，求的值。分析：本题要想求出待求分式的值，那么需要求出a，b，c或，的值，但题设只有一个等式，直觉告诉我们要求出上述各值是不可能的，须另寻它路，观察到题目中5与是平方关系，变更一下主元，利用方程思想求解，就找到了解题的方向。解：设，从而已知式变为各项系数和方程的两个实根为由根与系数的关系得：二、整体意识许多数学问题，若不能从整体上加以考虑，则常使问题支离破碎。这要求同学们在解题中
2、要有意识地从整体思维角度来分析、解决问题，加强复习，使所学知识融会贯通，对知识有一个整体性、系统性的把握。 例2. 已知与（a，b为常数）成正比例，且时，时，。试确定y与x的函数关系式。解：与成正比例，即当时，；当时，代入，得：解之，得：于是，y与x 的函数关系式为评注：由以上方程组要分别求出待定系数，委实困难，因为整个相当于一次函数一般表达式中的常数b，所以，只有将当作一个整体看待，才能最终确定y与x的函数关系式。 例3. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可运货35吨，求3吨大车与5辆小车一次可以运货多少吨？解：设1辆大车与1辆小车一次可以分别运
3、货x，y吨，根据题意，得：，得即，也就是3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨。评注：常规方法是通过解上述二元一次方程，先求出x，y的值，再进一步去求的值。但在本题中，要求的是3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨，故把看作一个整体，通过观察方程未知数各系数的特点，由上述方法即可一步到位，求解简捷、快速。三、目标意识明确的解题目标是分析问题的切入点，是解题成功之关键。解题过程中的第一次转换都应紧紧围绕解题目标，它是思维受阻、解题迷惑时的指南针。 例4. 已知一个直角三角形的周长是，斜边上中线是2.5，求这个三角形的面积。分析：一般的解题思路是，设两条直角边的长为a、b，则由题意可知，求出a，b
4、，再由求面积，这样虽然能做出来，但较复杂（有时解不出）。如果能盯住目标，则求出ab即可，不必分别求出a，b，于是由得，则。四、转化意识解题即意味着把原问题逐步转化为可解的目标问题的过程。学习从数与式、数与形、特殊与一般等的转化中培养自己把复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象问题具体化，非常规问题常规化的能力。 例5. 已知，求证：中至少有一个等于1。分析：结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。中至少有一个等于1，也就是说中至少有一个等于零，这样，问题就容易解决了。证明：于是中至少有一个等于0即中至少有一个等于1。 例6. 求证：不存在整数，满足分
5、析：本题用直接证法或反证法都难以入手，推证过程也比较复杂。若将式变形为，则原问题就等价变换为“证明对任意的整数a与b，其平方和除以8余数都不是6”，从而找到其庐山真面目。显然，只要运用整数的性质与分类就容易证明结论成立。证明：式可化为，整数仅可以划分为四类， ，其平方分别为，。它们除以8余数分别是0、1、4，因而任意两个整数的平方和除以8的余数只能是1、4或5，而不能余6。于是，对任意的整数a与b，均不满足（n是整数），不存在整数满足。五、反思意识反思是对自己的思维过程和结果进行再认识和检验的过程，一个数学问题的解决完成后，一定要注意回顾、反思，充分挖掘蕴含在问题的提出、解决、完善、深化等环节
6、中的内涵。 例7. m为何值时，的图象在两坐标轴上的截距相等？解：令，得令，得依题意，有当时，得当时，得即解之，得，经检均可。解完后再反思一下，此题解答过程中最容易漏掉的是的情况，还易忘记最后的检验。为此，平时就要养成解题后再查漏补缺的习惯，并且不断总结经验教训，从而不断丰富和不断完善自己。 例8. ABC的内切圆O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且，求AE，BF和CD的长。解：如图，ABC的内切圆O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F可设根据题意得方程组得：故得；得；得认真观察解答过程中所列三元方程组的解法，这里针对方程组的结构特征，将三个方程整体叠加，可得，立即使得答案十分明朗，相信聪明的读者一定会用此法解下面这个方程组。原题图形是一个圆与三角形内切的基本图形，也是一个很有探索价值的图形。探索1 先让我们再回顾一下原题中三条切线长AE，BF，CD的得来，事实上是：若设ABC的三边（ABC的内切圆O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F），则可得一般结论：探索2 在原图中，若ACB90，如图，由切线、切线长性质易知：四边形CDOF为正方形。利用探索1所得结论又可得：O的半径此结论用文字语言可表述为：直角三角形内切圆半径等于周长的一半减去斜边长。用心 爱心 专心 119号编辑 5
