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1、全等三角形一. 本周教学内容： 全等三角形二. 教学过程：图形全等的识别：（1）重叠法：能够完全重合的两个图形是全等图形；（2）形状、大小完全相同的图形是全等图形；（3）相似比为1的两个图形是全等图形。全等三角形的识别：1. 判定公理：（1）判定公理1 （简称“边角边”或“SAS”）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（2）判定公理2 （简称“角边角”或“ASA”）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）判定公理3 （简称“边边边”或“SSS”）有三边对应相等的两个三角形全等。（4）判定4（推论，简称为“角角边”或“AAS”）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（
2、5）判定5（斜边、直角边公理，简称“斜边直角边”或“HL”）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。【典型例题】 例1. 如图1，ADE和ABC是全等的，指出它们的对应边和对应角。图1分析：依据图形找对应边和对应角，应认真观察图形，较长的边与较长的边对应，较短的边与较短的边对应，较大的角跟较大的角对应。解：当ADEABC时，AD与AB，AC与AE，ED与CB是对应边；E与C，EAD与CAB，EDA与B是对应角。点拨：认真视图是关键。 例2. 如图2，ABCADE，12，BD，指出其他的对应边和对应角。图2分析：可将两个三角形从图形中分离出来，再寻找余下的对应边和对应角。解：BAC与DA
3、E是另一对对应角；AB与AD，AC与AE，BC与DE是对应边。点拨：做题时，书写全等三角形要注意它们对应顶点的排列顺序，书写时，对应顶点所确定的对应线段为对应边，对应边所对的角为对应角，这样可有效地防止出错。 例3. 如图3，已知ABDE，AB/DE，AFDC。试说明ABCDEF全等的理由。图3分析：由图形及已知ABDE、AFDC可得ACDF，而它们的夹角A和D由AB/DE可得出。解：AB/DEAD又AFDCAFFCFCDC即ACDF在ABC和DEF中，点拨：（1）根据结论找条件，找相等的角和相等的边。（2）先找相等的边和角。 例4. 已知如图4，在ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高
4、，在BE的延长线上截取BMAC，在CF的延长线上截取CNAB，请说明：（1）AMAN。（2）AMAN。图4分析：BMAC，CNABABM和ACN是BAC的余角，即ABMACN。由此可得ABMNCA。从而说明AMAN，利用余角得出AMAN。解：（1）BE，CF为ABC的两条高。AFCAEB90（垂直定义）BACABEBACACF90即在ABM和NCA中，（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应角相等）（2）BAMNAF90NAM90即AMAN。点拨：利用同角的余角相等得到ABMACN。再用余角说明AMAN。 例5. 如图5，已知：ADAE，BC。说明BDCE的理由。图5分析：由推论易证。 即解：
5、在ABE和ACD中，ABAC（全等三角形的对应边相等）即：BDCE点拨：巧妙地利用等式性质。 例6. 已知，如图6，ABAC，BECE，AE的延长线交BC于D，图中的BDCD，ADBC。是否成立？为什么？图6分析：由已知先说明得，再利用，得，即ADBC。解：在ABE和ACE中。（全等三角形的对应角相等） 例7. 如图7，要使，还需要添加一个条件（只需添加一个条件）_。图7分析：这是一道开放型试题，解题时关键是正确理解全等三角形的识别方法。由12可得到所要证明的两个三角形的两个内角AEBAEC，又AEAE，故若添加BAECAE，可利用（ASA）证明ABEACE；若添加BE=EC，可利用（SAS）
6、证明ABEACE；若添加BC，可利用（AAS）证明ABEACE。解：可填BAECAE，或BECE，或BC。 例8. 已知如图8中，ABAC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BECF，EF交BC于点D，图8求证：DEDF。分析：要证DEDF，从图上看这两条线段所在的两个三角形显然不能全等，这需要添加辅助线构造全等三角形，使结论得证。证法1：过点E作EG/AF交BC于点G，所以12，所以EGD=DCF，又因为AB=AC，所以B=2，所以1=B，故BE=EG，又因为BE=CF，所以EG=CF，于是DEG和DFC中3=4，EGD=DCF，GE=CF。故DEGDFC，所以DE=DF。证法2：如图
7、9，过点F作FM/BA交BC延长线于点M，所以B=M，因为AB=AC，所以B=1。图9所以1=M，1=2，所以M=2，故CF=MF又因为BE=CF，所以BE=MF在EBD和FMD中B=M，3=4，BE=MF所以EBDFMD，故ED=DF证法3：如图10，过点E作EGBC于点G，过F作FHBC交BC的延长线于点H图10所以EGB=H=EGD=90因为AB=AC，所以B=3因为3=4，所以B=4，在EBG和FCH中，EGB=H，B=4，BE=CF所以EBGFCH，所以EG=FH，又因为EGD=H，1=2，所以EGDFHD，故ED=DF 例9. 如图11，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC
8、，图11求证：B：C的值。分析：由AB+BD=AC，可延长AB到M，使AM=AC（或在AC上截取一段AN=AB）。此题就易解答。解：延长AB到M，使AM=AC，连结DM。因为AC=AB+BD，所以AM=AB+BD=AB+BM，所以BM=BD，即M=BDM，因为AM=AC，1=2，AD=AD，所以AMDACD。所以M=C，所以ABC=2M=2C，即有ABC：C=2：1 例10. 如图12中，正方形ABCD，M是AB中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N。图12（1）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任一点”，其余条件不变，则结论“MD=M
9、N”还成立吗？如果成立请证明，如果不成立，请说明理由。分析：由正方形ABCD，且DMMN，易得12，若MD=MN，在DA上取中点F，则DMFMNB。此题转化为证明三角形全等，显然下一步是寻找角相等作为已知条件，由AM=AF，可发现DFM=MBN=135。证明：（1）取正方形ABCD的边AD的中点F，连结MF因为M是AB中点，所以DF=AF=AM=MB所以AFM是等腰直角三角形，AFM=45，即DFM=135因为BN平分CBE，所以CBN=45，即MBN=135因为DMMN，所以2+3=90，因为1+3=90所以1=2，在DFM和MBN中1=2，DF=MB，DFM=MBN=135所以DFMMBN
10、，所以DM=MN（2）若M为AB上任一点，结论“DM=MN”仍成立。在DA上截取DF=MB，连结MF，则AF=AM，AFM是等腰直角三角形，所以AFM=45，即DFM=135。因为BN平分CBE，所以MBN=135因为DMMN，所以2+3=90，又因为1+3=90，所以12，在DFM和MBN中，12，DF=MB，DFM=MBN，所以DFMMBN，故DM=DN。一. 填空题（每小题6分，共48分） 1. 如图1，ABCDCB，且AB和DC是对应边，BAC和CDB是对应角，其他对应边有_，对应角有_。图1 2. 已知：ABCABC，A=A，B=B，C=70，AB=10cm，则C=_，AB=_。3.
11、 如图2，O是AC、BD的中点，那么AOBCOD，根据是_；若A=65，那么C=_，根据是_。图24. 中，已知，若以“SSS”为条件，说明，需增加的一个条件是_。5. 如图3，AB=AC，要证明，还需要添加一个条件，把你考虑的不同方案一一写出_。图36. 如图4，A=D，OB=OC，填写需要补充的条件，使结论成立，在AOB和DOC中，所以。图47. 如图5，将ABC绕点A顺时针旋转_与ADE重合。图58. 如图6，在ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要给出_=_，或者_/_，就可说明。图6二. 选择题（每小题5分，共25分）。 9. 如图7，AB=4，BC=5，AC=6，则AD
12、C的周长为（ ）A. 4B. 5C. 15D. 不能确定图7 10. 如图8，在ABC和ABC中，若使，必须满足条件（ ）A. B. C. D. 图8 11. 如图9，已知A=D，EFD=BCA，那么要得到ABCDEF，还应给出的条件是（ ）A. E=BB. ED=BCC. AB=EFD. AF=CD图9 12. 如图10，AB与DC相交于点E，EA=EC，DE=BE，若使，则（ ）A. 应补充条件A=CB. 应补充条件B=DC. 不用补充条件D. 以上说法都不正确图10 13. 如图11，C=D=90，要用“HL”判定ABCBAD，应补充的条件是（ ）A. ABC=BAD B. BAC=AB
13、D C. AC=BD D. BC=AB图11三. 解答题（14小题8分，15小题9分，16小题10分，共27分）。 14. 下面图形中有哪些是全等的？ 15. 如图12，已知于D，要使，还需什么条件？并说明理由。（1）_（ ）；（2）_（ ）；（3）_（ ）；（4）_（ ）。图12 16. 如图13，要测量河岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=CB。再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长度为a，求AB的距离。图13参考答案一. 1. BC和CB，AC和DB；ABC和DCB；ACB和DBC 2. 70，10cm3. SAS，65，全等三角形的对应角相等4. AC=AC5. B
