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1、数学教学中渗透数学史教育的一点体会【摘要】我国的数学教学一直注重形式化演绎的数学思维的训练,而忽视了培养学生对数学作为一门科学的思想体系的教育。数学的过度形式化使学生认为数学就是概念，定理加性质，非常枯燥，进而对数学失去了兴趣。正如一位智者所说：数学美女如今已经变成x光片下的骨架了。因此对数学教育添加适当的血肉就变得相当迫切与重要。【关键字】数学史 教学方式 数学思维20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”。美国著名数学史家、历史上第一个数学史教授卡约黎(18591930)在出
2、版于1893年的数学史前言中强调数学史对教学的重要价值。现行的数学教材一般都经过了反复推敲，语言已十分精练。为了保持知识的系统性，把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排，缺乏自然的思维方式，对数学知识的内涵及相应知识的创造过程介绍也偏少。虽利于学生系统地接受知识，但不利于学生真正理解数学思维产生过程，从而导致不利于人们对数学的再创造。所以，在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾：一方面，教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识，将知识系统化；另一方面，系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题，猜想、论证、检验、完善、一步一步成熟起来的。影响了学生正确数学思维方式的形成。数学
3、史的学习有利于缓解这个矛盾。通过讲解一些有关的数学历史，让学生在学习系统的数学知识的同时，对数学知识的产生过程，有一个比较清晰的认识，从而培养学生正确的数学思维方式。那么数学史应该以何种方式进入课堂呢？笔者认为数学史的教学方法应是结合教材,进行渗透。现在数学史已经作为阅读材料被写入中学教材。数学史要走进课堂,真正成为数学教学的一部分，就必须与学生所关心的学科内容有机结合起来,适应课堂教学的实际情况，抓住中心，突出重点，把握时机和分寸，亦不可喧宾夺主，本末倒置。例如，对于一些抽象概念的理解，只有给学生讲清楚其来龙去脉才能加深他们对知识的理解和记忆。案例一：初中数学教学中，我在给学生引入无理数时，
4、指出无理数是由于度量问题而产生的。首先铺垫语：“话说古希腊数学家毕达哥拉斯在克罗顿创建了毕达哥拉斯学派，他主张“万物皆数”的观点。即自然数是世间最和谐的,“除了整数，一切都是人造的玩意儿”，而世间的一切事物均可以表示成两个整数之比。”然后反问学生毕达哥拉斯的这种观点对吗？给学生思考片刻，如果有学生能举出反例当然好，就可以用学生的例子展开，若没有则教师继续讲故事。“这时毕氏的学生希帕索斯登场了，他作了一个边长是1的正方形，利用毕达哥拉斯定理得出其对角线的平方是2。”“你能把这条对角线表达成两个数的比吗？如果不能能说明为什么吗？”虽然教师提出的这些问题基本都是自问自答，但教师应不失时机地给学生尝试
5、的机会，尽可能多地让学生体会并参与数学知识的发生发展过程，这样学生不仅听得兴趣盎然，潜移默化的也渗透了数学的思维方法。“希帕索斯是怎样试都无法把这条对角线表达成两个整数的比。一天，希帕索斯猛然想到由“万物皆数”的观点，可以假设(m,nZ而且互质)成立，即m2=2n2,所以m是2的倍数.又设m=2m,则n2=2(m)2，则n亦为2的倍数,这与m,n互质矛盾。这个结论太可怕了，如果这个数我们用表示 ，那么的出现引起了毕达哥拉斯学派极大的恐慌，因为这与其根本思想如此矛盾，以至于从根本上否定了“万物皆数”这一观念。他们认为是一个妖魔。比如，它等于0.5，是一个有限小数；又比如，它等于0.3333，是一
6、个无限但循环的小数，可以很清楚地知道小数点后100位是3，1000位还是3；但呢？=1.41421其小数点后100位是几?1000位呢?即使辛苦算出，第n位是几呢?有一般的规律吗?没有。它是无限不循环的，是不可预料的，然而它却又确实在那里，它就是一个明明确确的数。人们的直觉中，根本没有无理数的地位，只有当演绎推理的方法一应用，大家这才张开吃惊的嘴巴。在这里，我们看到了另外一种数学之美：逻辑美。” 如果时间和条件允许的话，还可以把故事讲得更丰富生动些，如：“再说这毕氏门人都想找找希帕索斯的发现是不是有些毛病，挑出点错。可在那铁一般的逻辑推理面前，都只能哑口无言。一边是毕氏门徒苦心经通过讲述这个历
7、史故事，我发现学生能比较好地掌握无理数和实数的概念，但不是所有的学生都能马上领悟希帕索斯运用的反证法，这也正是数学的魅力所在，因为课下有许多学生主动问我此证明方法，说明学生已经开始积极地的思考数学问题了。正如著名的数学家陈省身先生所说：要让学生觉得数学好玩。以讲故事的形式引出数学概念，在这个故事里教师不但可以顺理成章的给出无理数及实数的定义，还潜移默化的教给了学生反证法，并且指出了数学之美，还原数学本来的有血有肉之躯。对于远离学生实际的，令人费解的数学概念及定理，学生会觉得“学习这个不就是为了考试吗？”从而大大降低了学生学习的积极性和主动性。动机是推动人去行动的一种力量，从心理学的观点讲，动机
8、可分为两个部分；人的好奇心，求知欲，兴趣，爱好构成了有利于创造的内部动机；曾经有人调查了河南省新乡市四所中学的高中生学习数学情况：“我不喜欢数学，但为了高考，我必须学好数学”的学生占被调查者的比例高达62.21%，而对数学“很感兴趣”的只有23.12%。可见目前中学生的有利于创造的动机不明确，对数学的兴趣也很不够，这些都极大地影响了学习数学的效果。但这并不是因为数学本身无趣，而是被我们的教学忽视了。在数学教学中适当结合数学史有利于培养学生对数学的兴趣，克服动机因素的消极倾向。案例二：在高中数学对数概念的教学实践中，笔者发现如果只是干巴巴的讲授课本内容，学生很难理解对数概念，尤其是关于对数运算律
9、，经常出现诸如或者等错误，究其原因与学生对对数的本质含义理解不透不无关联。尤其严重的问题是相当部分学生始终很讨厌对数，觉得它是个怪物。当结合对数发展史对这一概念进行讲解时，笔者发现学生的眼睛是亮的，思维很活跃。先抛出问题“请同学们不用计算器计算的结果”学生发现计算量很大，“在16、17世纪的欧洲，工商业迅速发展，科学技术也蓬蓬勃勃。天文、航海、测绘、造船集中暴露出一个头痛的大问题：计算越来越繁杂，数据越来越多。无数的乘除、乘方、开方、耗费了人们大量的宝贵时间。”再让学生观察四个因数的特点，学生很快发现此数可写成的形式，进而写成，乘法运算好像可以通过某种形式转化成加法运算而使运算简便。“在154
10、4年，有一位德国哥尼斯堡（前苏联把它叫做加里宁格勒）大学的数学教授斯蒂费尔（14871567）跟你们的想法差不多。斯先生宣布自己发现了有关整数的一种奇妙性质，他认为：为此，人们甚至可以写出整本整本的书?那么，斯蒂费尔发现了什么呢？原来他把两列数对照了一番：”1，2，3，4， 5， 6， 7， 9， 10， 112，4，8，16，32，64，128，512，1024，2048“同学们也都能发现，第二行的每个数分别是2的第一行每个数的方幂。”“斯先生惊奇地发现，如果要计算第二行中两个数的积，只要在第一行中找到对应的两个数，这两个数的和所对应的第二行中的数，就是所求之积。比如要求16128，可找出，
11、16对应4，128对应7，47=11，11对应的是2048，这就是16128的积。斯蒂费尔得到一个重要结论：通过这样的表，可以把乘除运算化为加减运算。”“这个历史事件可是在数学简化计算方面迈出的重要一步，这是不是能解决所有数的连乘问题呢？”抛出疑问，给学生思考片刻，学生提出了疑问，有学生发现像16102的数就无法用斯蒂费尔的上述表格进行运算。“真是英雄所见略同，斯蒂费尔就是这个地方想不通，才使得自己没有摘取发现对数的桂冠呢！其实现在看来他离伟大的发现只有一层窗户纸了，只要轻轻一捅，那么他的声名可就要远远超过现在了。”“正当斯蒂费尔感到智穷力竭之时，纳皮尔（15501617）登场了。这位苏格兰爱
12、丁堡的杰出人物，对数发明的金牌得主。纳皮尔10多岁入圣安德鲁斯大学学习，算是少年大学生了，纳先生深为研究天文、数学、机械时的复杂计算而苦恼。冥思苦索，终于在对数的发明上捅破了最后一层窗户纸，跨出了有历史意义的一步。说起也很简单，纳皮尔只不过是让任何数都找到了它的对应者。也就是相当于在上面的表中，密密麻麻地插进许多中间值，这么一来，大事成矣。从1594 年起，经过 20 年的苦战，一本厚厚的200多页的八位对数表终于诞生了！纳皮尔用20年的光阴，换来了人世间无数生命的延续。纳皮尔的惊人发明被整个欧洲热心地采用。被繁杂计算弄得头昏脑胀的天文学界，简直要为这个发现沸腾起来了，那激动，那赞叹，不亚于2
13、0世纪的计算机发明。伽里略老先生更是眉飞色舞：给我空间，时间及对数，我可以创造一个宇宙。” 丘成桐在接受东方时空的采访时曾说：“由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点，和别人的看法不一样。” 这是一位数学大家对数学的诠释。通过讲解数学家的坚持不懈的探索创造活动，再现数学家们的思维过程，让学生了解他们的思维的途径，成功的经验及失败的教训，加以内化，从而培养他们强烈的数学意识和创新精神。课上多介绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会（这往往能够获得比从正面讲解更好的效果），而且知道大数学家也同样会遭遇挫折，对学生正确看待学习过程中的困难，树立学习的自信心会产生重要的作用。数学概念形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探索者的失败与成功还可以使学生体会到，数学不仅仅是训练思维的体操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富的人文内涵，有着丰满的血肉之躯。营多年的和谐完美的数的大厦，一边是不容怀疑、被他们当作锐利武器的逻辑推理，这真叫“以子之矛，攻子之盾”，学派陷两难境地，思想混乱，信仰危机。这就是历史上常常说起的第一次数学危机。”
