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1、“探索规律题”的解法探讨第一类：文字型题例1：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？分析：在此题中，变化的量有以下几个：操作的次数，即取球的次数；取出的球数；每次取出球以后，盒中剩余的球数；每次放回的球数盒中每次增加的球数；每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律：操作次数 1 2 3 10取出球数 1 2 3
2、 10盒中剩球数 0 2 7 A放回的球数 4 8 12 B盒中增加球数 3 6 9 C总球数 4 10 19 D在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=311+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。例2：有10个朋友聚会，
3、见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人握7次手；A9与A10握1次手。因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。说明：解决此类问题时，应将出现的各种结果按一定规律一一给出，从而整理出所有结果来。第二类：数字型题例3：观察下面依次排列的一列数，它的排列规律是什么？请接着
4、写出后面的3个数。你能说出第100个数、第2004个数、第10000个数吗？ 2，-2，2，-2，2，-2， -1，3，-5，7，-9，11， - ，- ，- 分析：容易发现这一窜数字是正负相间、绝对值都等于2的数构成的，即第奇数个数字是2，第偶数个数是-2。因此接下来的三个数就是2，-2，2。第100个数是-2，第2004个数是-2，第10000个数是-2。容易发现这一窜数字除了符号有变化外，数字都是奇数；符号是一负一正相间；（第奇数个数是负的，第偶数个数是正的。因此，符号的确定可以用（-1）N来作为每一个数的系数。而奇数常常用（2N-1）来表示，固此数列的第N个数可以用（-1）N（2N-1
5、）来表示，原数列中的接下来的三个数为：-13，15，-17。第100个数为199，第2004个数为4007，第10000个数为19999。容易发现此数列的符号特征与第2小题的符号特征一样，可以用（-1）N来表示。而每一个分数可以看成是偶数的倒数，即，因此，此数列中的第N个数可表示为（-1）N ，故，接下来的三个数为，- ，。第100个数为，第2004个数为，第10000个数为。说明：此例中的数字规律学生寻找起来不是很困难的，只须了解一系特殊数列的表示方法就可以了，如奇数数列、偶数数列的表示方法；当然，符号的表示也是要求掌握的。例4：研究下列算式，你会发现什么规律？13+1=4=2224+1=9
6、=3235+1=16=4246+1=25=52请你将找出的规律用公式表示出来：这个公式是否对全体整数适用？分析：在第一个式子中去寻找“1”；在第二个式子中去寻找“2”； ；在第N个式子中去寻找“N”。同时，在相应的式子中寻找与“1”、“2”、 、“N”有关的数字。若发现式子中的“1”、“2”、 、“N”的位置是个固定的位置，则第N个式子中的“N”就在“1”、“2”、 、的位置上，相应的“N+1”、“N-1”等其它的与N有关的数字就因规律式子中的具体情况而定了。此题中各式的第一个数据即可看出是N的位置，第二个数据比第一个数据大2，则第二个数据可认为是N+2，第三个数据为常量1，第四个数据即为（N
7、+1）2的结果，而最后的结论则是明确了（N+1）2。因此，找出的规律用公式表达为：N（N+2）+1=N2+2N+1=（N+1）2。例5：观察下列各式：13+23=9=（1+2）213+23+33=36=（1+2+3）213+23+33+43=（1+2+3+4）213+23+33+43+993+1003=？分析：从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方。学生不难找到第N个式子为：13+23+33+N3=（1+2+3+N）2。因此，13+23+33+43+993+1003=（1+2+3+4+99+100）2=50502。（用不完全归纳法来证
8、明第N式的结论并不困难，限于篇幅，这里不给予证明了。）1、当一条线段上标上一个点时，此时图中共有3条线段，若再标上一个点时，此时图中共有6条线段，依次类推，则第N个图中共有多少条线段？2、从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形依次类推，则第N个图中共有多少个三角形？说明：（1）在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合依次类推数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏（2） 道一些特殊数列的规律和一般表达式，才能较为轻松地完成此类问题的解答。如下表：自然数列 1 2 3 N偶数数列 2 4 6
9、 2N奇数数列 1 3 5 2N-1自然数的平方 1 4 9 N2前N个自然数的和 1（1） 1+2（3） 1+2+3（6） 1+2+3+N（）前N个奇数的和 1（1） 1+3（4） 1+3+5（9） 1+3+5+（2N-1）（N2）前N个偶数的和 2（2） 2+4（6） 2+4+6（12） 2+4+6+2NN（N+1）为了大家进一步巩固这方面的知识点，以下练习题，供大家参考：1） 观察下列各式，你会发现什么规律？35=15=42-1 57=35=62-11113=143=122-1将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来。2） 观察下列各式：A1=51-3=2A2=52-3=7A3=53
10、-3=12A4=54-3=17（1） 根据以上规律，猜测计算AN=（2） 当N=100时，A100=你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，这样捏合拉伸到多少次，就可拉出128根细面条？4）正方形的棱长都是1，按规律堆放，若依次由上向下称之为第一层、第二层、第三层、第N层，请填表：小正方体排列层数N 1 2 3 4 5 N最低层小正方体的个数 1 3 6 数学题，可以分为两大类，一类是应用数学规律题，一类是发现数学规律题。应用数学规律题，指的是需要学生应用以前学习过的数学规律解答的题目。发现数学规律题，指的是与学生以前学习的数学规律没有什么关系，需要学生先从已知的事物中找出规律，才能够解答的题目。学生所做数学题，绝大多数属于第一类。由于发现数学规律题，能够增强学生的创造意识，提高学生的创新能力。因此，近几年来，人们开始逐渐重视这一类数学题。尤其是最近两年，全国多数地市的中招考试，都有这类题目。研究发现数学规律题的解题思想，不但能够提高学生的考试成绩，而且更有助于创新型人才的培养。4
