《2020高中数学 3.2第3课时课后练习同步导学 新人教A版选修2-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020高中数学 3.2第3课时课后练习同步导学 新人教A版选修2-1(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章 3.2 第3课时(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!)一、选择题(每小题5分,共20分)1如图,正棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,设AB1.则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2)(0,1,2),(1,0,2)cos,异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为,故选D.答案:D2若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成的二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析:设正
2、三棱锥PABC,PA,PB,PC两两互相垂直,设PAPBPCa.取AB的中点D,连结PD、CD,易知PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角易求PDa,CDa,故cosPDC.答案:B3若平面的一个法向量n(2,1,1),直线l的一个方向向量为a(1,2,3),则l与所成角的正弦值为()A. B.C D.解析:cosa,n.答案:B4二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB4,AC6,BD8,CD2,则该二面角的大小为()A150 B45C60 D120解析:由条件,知0,0,.|2|2|2|2222624282268cos,(2)2,co
3、s,120,二面角的大小为60.故选C.答案:C二、填空题(每小题5分,共10分)5正方体ABCDA1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_解析:如图,以DA、DC、DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,取正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),易证是平面A1BD的一个法向量(1,1,1),(1,0,1)cos,.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案:6正ABC与正BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的余弦值为_解析:取BC中点O,连结AO,DO.建立如右图所示坐标系,设BC1,则A,B,D.,.由于为面BCD的法向
4、量,可进一步求出面ABD的一个法向量n(1,1),cosn,.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB4,AD3,AA12,E,F分别是线段AB、BC上的点,且EBBF1,求直线EC1与FD1所成角的余弦值解析:以D为坐标原点,分别为x轴、y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则有D1(0,0,2),E(3,3,0),F(2,4,0),C1(0,4,2),于是(3,1,2),(2,4,2),设与所成的角为,则cos ,所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.8.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA14,E为BC的中点
5、,F为CC1的中点(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值;(2)求二面角FDEC的余弦值解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(1,2,0),F(0,2,2)(1)(1,0,2),易得平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1),设与n的夹角为,则cos ,EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.(2)(1,0,2),(0,2,2),设平面DEF的一个法向量为m,则m0,m0,可得m(2,1,1),cosm,n,二面角FDEC的余弦值为.尖子生题库9(10分)如图所示,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,PAAB
6、,ABC60,BCA90,点D,E分别在棱PB,PC上,且DEBC.(1)求证:BC平面PAC;(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;(3)是否存在点E,使得二面角ADEP为直二面角?并说明理由解析:以A为原点,分别为y轴、z轴的正方向,过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴,建立空间直角坐标系Axyz,设PAa,由已知可得:A(0,0,0),B(0,a,0),C,P(0,0,a)(1)证明:(0,0,a),0,BCAP.又BCA90,BCAC,BC平面PAC.(2)D为PB的中点,DEBC,E为PC的中点,D,E,由(1)知,BC平面PAC,DE平面PAC,垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角,cosDAE,AD与平面PAC所成的角的正弦值为.(3)DEBC,又由(1)知BC平面PAC,DE平面PAC,又AE平面PAC,PE平面PAC,DEAE,DEPE,AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC,PAAC,PAC90.在棱PC上存在一点E,使得AEPC,这时AEP90,故存在点E,使得二面角ADEP是直二面角