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1、向量在几何中的应用（一） 教学目标1.知识与技能：运用向量的有关知识，解决平面几何中线段的平行、垂直、相等等问题。2.过程与方法：通过应用举例，让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法向量法和坐标法。3.情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识，培养创新精神。（二） 教学重点、难点重点：用向量知识解决平面几何问题。难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题解决。（三） 教学方法本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的运用。教学中，教师创设问题情景，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题
2、规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力。（四） 教学过程教学环 节教学内容师生互动设计意图复习引入1. 向量加法的三角形法则、平行四边形法则。2. 向量平行、垂直的判断方法。3. 用向量证明平面几何、解析几何问题的步骤。教师提问，学生回答。让学生回顾学过的知识，有利于本节课的顺利进行。应 用举例1.如教材中图，已知平行四边形ABCD，且E,F在对角线BD上，且小结：本题的关键是选取适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来。 问题1.证明AECF是平行四边形，你打算如何来证明它？学生思考，回答。问题2.将问题地证明转化为向量表达，如何寻找切入点？启发学
3、生思考，回答，并完成证明过程。题3 证明过程中运用了哪些向量知识？问题4 与初中平面几何的推证比较，向量法证明的优势有哪些？让学生总结解题方法。通过教师分步设问，引导学生展示思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法。2.求证平行四边形对角线互相平分。小结：本题选取基底设未知数，列向量方程，解方程组得到结论，体现了方程思想在向量解题中的运用。问题 .如何证明点M为中点？学生思考、回答？教师点评学生思路：（1）要证两对角线互相平分，可以证,但本题关系不确定，此法不易操作。（2）如果能证明问题就可解决，请大家用此法思考如何证明。 学生讨论，师生交流，共同完成证明过程。本题所用方法比较特殊，学生不易想
4、到，教师在分析学生提供的思路的基础上，指出方法，进一步引导学生再去探讨，体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。进一步体会将几何问题用向量法证明所体现的数形结合的思想。课堂练 习教材练习A, 1学生完成巩固所学方法应用举例例3已知正方形ABCD,P为对角线AC上任一点，连DP,EF,求证：DPEF.小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标法解决几何问题，体现几何问题代数化的特点。常采用坐标法的题目，往往存在互相垂直的关系，且坐标易写出，如正方形、长方形、直角三角形等。问题1 本题几何图形比较特殊，让同学结合图形特点考虑采用那种方法简便一些。学生回答，师生交流。问题2 能否用坐标法完成题目证明？
5、学生独立完成。本题用向量的坐标法证明比较简单，因此选定方法是难点，确定方法后学生可以独立完成。课堂练习教材练习A, 2学生完成，教师指导。进一步巩固所学方法。应用举例例4 求通过点A（1，2），且平行于向量的直线方程。小结：结合图形中的特点，利用向量平行的充要条件，求得坐标形式下的直线方程。体现向量知识的形数结合的本质特征。讨论：，加深方向向量与斜率、倾角等概念的关系理解。问题1 方向向量与直线平行的条件如何运用？如何才能转化成向量与向量的平行并加以利用？问题2 坐标形式的条件下，解题应尽量以坐标形式来求解。学生独立完成。如何实现向量与向量平行的表达，设出任意点P（x,y）是关键。让学生认识并
6、理解这个切入点后，此类问题的解决就得心应手了。课堂练习教材练习A 3 （1）、（2）（3）（4）学生完成，教师指导。进一步巩固所学方法。应用举例例5 已知直线L:Ax+By+C=0, ,求证：向量小结：直线一般方程Ax+By+C=0中，变量x, y的系数，构成向量（A,B）的几何解释为向量（A,B）与直线Ax+By+C=0垂直；构成向量（B,A）的几何解释为向量（-B,A）与直线Ax+By+C=0平行。这样，直线间的平行、垂直、夹角等位置关系问题，就可方便地转化为向量问题来处理。此处引出直线的法向量的概念。问题1 可否转化成两向量垂直的证明？问题2 由直线转化成向量的关键在哪里？如何实现？ 教
7、师启发引导下完成证明。认识如何实现向量与向量平行的表达，理解本题的证明表述形式。明确由数化形的思路，体会证明中“设而不求”的方法。例6 求通过A(2,1),且与直线l: 4x-3y+9=0平行的直线方程。小结：利用例5的结论用向量知识解决解析几何问题。问题：对比、联系例5的结论，启发学生提出解题方法重视结论的迁移应用，强化向量法解证解析几何题的常见方法。课堂练习教材练习B 3学生完成，教师指导。进一步巩固所学方法。归纳小结（1） 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和解析几何问题。（2） 掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题和解析几何问题的步骤、方法。（3） 进一步理解向量是沟通代数、几何等知识，实现数形结合的有力的工具。师生交流，共同完成。帮助学生总结知识，归纳方法。布置作业教材练习B, 1， 2, 学生独立完成。巩固所学方法，规范解题步骤。
