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1、第八章 圆锥曲线方程【学习目标】双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质【学习要求】(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质【考题分类】(一)选择题(共13题)1.(福建卷理11文12)双曲线(a0,b0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3) B.C.(3,+) D.解:如图,设,当P在右顶点处,另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系。2.(海南宁夏卷文2)双曲线的焦距为( )A. 3 B. 4 C. 3 D.
2、4【标准答案】 【试题解析】由双曲线方程得,于是,选【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量的关系与椭圆混淆,而错选【备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低,考查也是一些基础知识,不要盲目拔高3.(湖南卷理8)若双曲线(a0,b0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)【答案】B【解析】或(舍去),故选B.4.(湖南卷文10)双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( )A B C D 【答案】C【解析】而双曲线的离心率
3、故选.5.(辽宁卷文11)已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则( )A1 B2 C3 D4答案:D解析:本小题主要考查双曲线的知识。取顶点,一条渐近线为6.(全国卷理9)设,则双曲线的离心率的取值范围是( )AB C D【答案】B【解析】在同一坐标系中作出及在的图象,由图象知,当,即时,得,【高考考点】三角函数的图象,两点间的距离【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题7.(全国卷文11)设是等腰三角形,则以为焦点且过点的双曲线的离心率为( )A B C D【答案】B【解析】由题意,所以,由双曲线的定义,有,【高考考点】双曲线的有关性质,双曲线第一定义的应用8.(陕西卷理8文9
4、)双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为( )A B C D解:如图在中, , 9.(四川卷文11)已知双曲线的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于( )() () () ()【解1】:双曲线中 作边上的高,则 的面积为 故选C【解2】:双曲线中 设, 则由得又为的右支上一点 即解得或(舍去)的面积为 故选B【点评】:此题重点考察双曲线的第一定义,双曲线中与焦点,准线有关三角形问题;【突破】:由题意准确画出图象,解法1利用数形结合,注意到三角形的特殊性;解法2利用待定系数法求点坐标,有较大的运算量;10.(浙江卷理7文8)
5、若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是 (A)3 (B)5 (C) (D)解析:本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线,则左焦点到右准线的距离为,左焦点到右准线的距离为,依题即,双曲线的离心率11.(重庆卷理8)已知双曲线(a0,b0)的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程为(A)=1(B) (C)(D)解:, 所以12.(重庆卷文8)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为(A)2(B)3(C)4 (D)4 【答案】C【解析】本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质。双曲线的左焦点坐标为:,抛物线的准线方程
6、为,所以,解得:,故选C。13(四川延考理7文7)若点到双曲线的一条淅近线的距离为,则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)解:设过一象限的渐近线倾斜角为所以,因此,选A。(二)填空题(共5题)1.(安徽卷理14)已知双曲线的离心率是。则 解:,离心率,所以2.(海南宁夏卷理14)过双曲线的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为_解:双曲线的右顶点坐标,右焦点坐标,设一条渐近线方程为,建立方程组,得交点纵坐标,从而3.(江西卷文14)已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为 解析:4.(山东卷文1
7、3)已知圆以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 解析:本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆得圆与坐标轴的交点分别为则所以双曲线的标准方程为5.(上海春卷7)已知是双曲线右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若,则 解析:由题知a=1,故(三)解答题(共7题)1.(湖北卷文20)已知双曲线的两个焦点为的曲线C上. ()求双曲线C的方程; ()记O为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若OEF的面积为求直线l的方程解:()解法1:依题意,由a2+b2=4,得双曲线方程为(0a24),将
8、点(3,)代入上式,得.解得a2=18(舍去)或a22,故所求双曲线方程为解法2:依题意得,双曲线的半焦距c=2.2a=|PF1|PF2|=a2=2,b2=c2a2=2. 双曲线C的方程为()解法1:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1k2)x24kx6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,k()(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x1+x2=于是|EF|=而原点O到直线l的距离d,SOEF=若SOEF,即解得k=,满足.故满足条件的直线l有两条,其方程分别为y=和解法2:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程
9、并整理,得(1k2)x24kx60.直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F,k()(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得|x1x2|.当E、F在同一支上时(如图1所示),SOEF|SOQFSOQE|=;当E、F在不同支上时(如图2所示),SOEFSOQFSOQE综上得SOEF,于是由|OQ|2及式,得SOEF.若SOEF2,即,解得k=,满足.故满足条件的直线l有两条,方程分别为y=和y=2.(江西卷理21)设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点为,定点.(1)求证:三点共线。(2)过点作直线的垂线,垂足为,试求的重心所在曲线方程.证明:(1)设,由已知得到,且,设切线的
10、方程为:由得从而,解得因此的方程为:同理的方程为:又在上,所以,即点都在直线上又也在直线上,所以三点共线(2)垂线的方程为:,由得垂足,设重心所以 解得由 可得即为重心所在曲线方程3.(全国卷理21文22)双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列,且与同向()求双曲线的离心率;()设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程解:()设,由勾股定理可得:得:,由倍角公式,解得,则离心率()过直线方程为,与双曲线方程联立将,代入,化简有将数值代入,有,解得故所求的双曲线方程为。4. (上海卷理18)已知双曲线,为上的任意点。(1)求证:点
11、到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点的坐标为,求的最小值;【解析】(1)设是双曲线上任意一点,该双曲的两条渐近线方程分别是和. 2分点到两条渐近线的距离分别是和, 4分它们的乘积是.点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. 6分(2)设的坐标为,则 8分 11分 , 13分 当时,的最小值为,即的最小值为. 15分5.(上海卷文20)已知双曲线(1)求双曲线的渐近线方程;(2)已知点的坐标为设是双曲线上的点,是点关于原点的对称点记求的取值范围;(3)已知点的坐标分别为,为双曲线上在第一象限内的点记为经过原点与点的直线,为截直线所得线段的长试将表示为直线的斜率的函数【解】(
12、1)所求渐近线方程为 .3分(2)设P的坐标为,则Q的坐标为, .4分 7分的取值范围是 9分(3)若P为双曲线C上第一象限内的点,则直线的斜率11分由计算可得,当当15分 s表示为直线的斜率k的函数是.16分6.(天津卷理21文22)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是,一条渐近线的方程是.()求双曲线C的方程;()若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力满分14分()解:设双曲线的方程为()由题设得,解得,所以双曲线方程为()解:设直线的方程为()点,的坐标满足方程组将式代入式,得,整理得此方程有两个一等实根,于是,且整理得由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足,从而线段的垂直平分线方程为此直线与轴,轴的交点坐标分别为,由题设可得整理得,将上式代入式得,整理得,解