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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第三节第三节 定积分的计算分法定积分的计算分法 第五章第五章 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 不定积分不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法8/22/20241返回返回上页上页下页下页目录目录一、定积分的换元法一、定积分的换元法 证证: 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .是的原函数 , 因此有那么8/22/20242返回返回上页上页下页下页目录目录1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立
2、 .2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即或配元配元不换限配元不换限说明说明: :8/22/20243返回返回上页上页下页下页目录目录解法二解法二这一解法没有引入新的积分变量，计算时，原积分的这一解法没有引入新的积分变量，计算时，原积分的上、下限不要改变，对于能用上、下限不要改变，对于能用“凑微分法求原函数的凑微分法求原函数的积分，应尽可能用解法二的方法积分，应尽可能用解法二的方法.8/22/20244返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 令令那么 原式 =且例例2计算计算8/22/20245返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 令令那
3、么 原式 =且 例例3 （补充题计算（补充题计算8/22/20246返回返回上页上页下页下页目录目录例例4 （补充题计算（补充题计算解解:8/22/20247返回返回上页上页下页下页目录目录证证:(1) 假设(2) 假设偶倍奇零偶倍奇零例例68/22/20248返回返回上页上页下页下页目录目录解解 8/22/20249返回返回上页上页下页下页目录目录8/22/202410返回返回上页上页下页下页目录目录二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2 那么证证:8/22/202411返回返回上页上页下页下页目录目录答案为答案为:答案为答案为:答案为答案为:答案为答案为:答案为答案为:8
4、/22/202412返回返回上页上页下页下页目录目录证证: 令令 n 为偶数 n 为奇数那么令那么例例12 证明证明8/22/202413返回返回上页上页下页下页目录目录由此得递推公式于是而故所证结论成立 .8/22/202414返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结 基本积分法基本积分法换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法换元必换限换元必换限配元不换限配元不换限边积边代限边积边代限课后练习课后练习习题习题53 8/22/202415返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习1.提示提示: 令令那么求2. 设设解解:(分部积分分部积分)8/22/202416返回返回上页上页下页下页目录目录解法解法1解法解法2对已知等式两边求导,考虑考虑:若改题为提示提示: 两边求导两边求导, 得得得3. 设设8/22/202417返回返回上页上页下页下页目录目录证：证：是以是以 为周期的函数为周期的函数.是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.4. 证明证明8/22/202418返回返回上页上页下页下页目录目录解：解： 右端右端试证试证分部积分积分分部积分积分再次分部积分再次分部积分= 左端左端5.8/22/202419
