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1、【世纪金榜】高中数学 1.4.2空间图形的公理课时提能演练 北师大版必修2 （30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.(2012武汉高一检测)在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )(A)2对 (B)3对 (C)4对 (D)6对2.已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是( )(A)MN（AC+BD）(B)MN（AC+BD）(C)MN=（AC+BD）(D)MN（AC+BD）3.（易错题）在正方体ABCD -A1B1C1D1各个表面的对角线中与AD1所成的角为60的有( )（A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）10条4.(2
2、012长春高二检测）直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )（A）30 （B）45 （C）60 (D)90二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知角和角的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若=45，则=_.6.在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC=BD，且ACBD，则四边形EFGH的形状是_.三、解答题（每小题8分，共16分）7.如图所示，不共面的三条直线a，b，c交于点O，在点O的同侧，在a,b,c上分别取点A和A1，B和B1，C和C1，使得求证：ABCA1B1C
3、1.8.（2012南昌高一检测）在正方体ABCD -A1B1C1D1中，求异面直线AC1与B1D1所成的角.【挑战能力】（10分）在长方体ABCD -A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1上)（1）过P点在空间中作一直线l，使l直线BD，应该如何作图？并说明理由；（2）过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成角，其中090，这样的直线有几条，应该如何作图？答案解析1.【解析】选B.根据异面直线的定义可知共有3对，它们是：AP与BC，CP与AB，BP与AC.2.【解析】选D.如图，取BC的中点H，据题意有MHAC，HNBD.在MNH中由两边之和大于
4、第三边知，MNMH+HN=(AC+BD).3.【解析】选C.与AD1相交且所成角为60的表面的对角线有4条，另外与这4条对角线平行的对角线也有4条，即共有8条.4.【解析】选C.如图所示，延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角.设AB=AC=AA1=1，则A1D=，DB=，A1B=，故A1BD为正三角形，DA1B=60.【方法技巧】求异面直线所成角的诀窍（1）平移方法：中位线平移法.平行四边形性质平移法.补形平移法.（2）平移直线是寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：该平面包含其中一条异面直
5、线，该平面与另一条异面直线平行.（3）求角或求角的三角函数值的一般步骤：构造三角形，解三角形求角或求角的三角函数值.5.【解析】由等角定理，两角两组对边分别平行，一组方向相同，另一组方向相反，则两角互补，所以=135.答案：1356.【解题指南】由中位线定理结合已知条件进行判断.【解析】如图，E，F，G，H分别为中点，EFAC,GHAC,EFGH,四边形EFGH为平行四边形.又ACBD，FGGH.AC=BD，FG=GH，EFGH为正方形.答案：正方形7.【解题指南】由比例式先证明平行，结合等角定理说明对应角相等即可证明.【证明】A1B1AB,B1C1BC,结合图形，由等角定理可得A1B1C1=
6、ABC，同理可证B1A1C1=BAC，ABCA1B1C1.8.【解题指南】先作出异面直线AC1与B1D1所成的角，然后在三角形中求角.【解析】如图，连接A1C1交B1D1于点O，则O为A1C1的中点，取A1A的中点E，连接EO，EB1，则EOAC1.所以EOB1为异面直线AC1与B1D1所成的角或其补角.设该正方体棱长为2a,则在B1OE中，B1O=B1D1=， EO=AC1=因为EO2+B1O2=B1E2，所以B1OE为直角三角形，且EOB1=90，所以AC1与B1D1所成的角为90.【挑战能力】【解析】(1)连接B1D1，在平面A1C1内过P点作直线l，使lB1D1，则l即为所求作的直线B1D1BD，lB1D1，l直线BD.（2）在平面A1C1内作直线m，使直线m与B1D1相交成角，BDB1D1，直线m与直线BD也成角， 即直线m为所求作的直线由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角满足：090当90时，这样的直线m有且只有一条，当90时，这样的直线m有两条
