《材料力学—— 扭转》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学—— 扭转（122页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、扭转 扭转的概念和实例外力偶矩的计算扭矩和扭矩图切应力互等定理与剪切胡克定律圆轴扭转横截面的应力 强度条件圆轴扭转时的变形 刚度条件非圆截面杆扭转的概念 扭转的概念和实例 工程实例 工程实例 工程实例 工程实例 对称扳手拧紧镙帽 扭转变形的受力特点 一组外力偶的作用 且力偶的作用面与杆件的轴线垂直 M 外力偶矩 变形特点 变形特点 任意两横截面绕轴线发生相对转动 轴 工程中以扭转为主要变形的构件 齿轮轴 直接计算 一 外力偶矩的计算 外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 M Fd 按输入功率和转速计算 电机每秒输入功 外力偶作功 已知轴转速 n转 分钟输出功率 P千瓦计算 力偶矩M 二 扭转变形横截面的
2、内力 T 矢量离开截面为正 反之为负 扭矩的符号规定 右手螺旋法则 扭转 扭矩图 目的 x T 扭矩沿杆件轴线各横截面上变化规律的图线 扭矩变化规律 T max值及其截面位置 危险截面 危险面 处处是危险面 例1 图示传动轴上 经由A轮输入功率10KW 经由B C D轮输出功率分别为2 3 5KW 轴的转速n 300r min 求作该轴的扭矩图 如将A D轮的位置更换放置是否合理 1传递的外力偶矩 B C D 2 3 5KW n 300r min 2 求内力 在CA段和AD段 3 绘出扭矩图 4将A D轮的位置更换 AD段 因此将A D轮的位置更换不合理 作扭矩图 切应力互等定理与剪切胡克定律
3、 薄壁圆筒 rm 为平均半径 壁厚 一 薄壁圆筒的扭转切应力 1 观察圆筒变形 纵向线发生了倾斜 扭转 圆筒表面的各圆周线的形状 大小 间距均未改变 各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形 2 观察现象 只是绕轴线作了相对转动 3表明 横截面上只有切于截面的切应力 可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布 4 切应力分布规律假设 因为筒壁的厚度很小 R0 薄壁圆筒横截面的平均半径 5 薄壁圆筒的扭转切应力 二 切应力互等定理 在相互垂直的两个平面上 切应力必然成对出现 切应力互等定理 且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 方向 共同指向或共同背离该交线 三 剪切虎克定律
4、当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 p 切应力与切应变成线形关系 对各向同性材料有 材料剪切弹性模量 单位 GPa 圆轴扭转横截面上的应力 强度条件 一 等直圆杆扭转实验 观察不变量 横截面在变形前后都 3 纵向线变形后 通过变形观察现象 1 各圆周线的大小 形状 间距 半径仍保持 2 轴向 保持不变 直线 保持为平面 无伸缩 仍近似为直线 只是倾斜了一个角度 观察小方格的变化 小方格 平行四边形 基本假设 横截面在变形后 大小 半径 平面假设 仍然保持为平面 形状 间距不变 仍保持为直线 结论 横截面 像刚性平面一样 只是绕轴线旋转了一个角度 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力 扭转 二 等直
5、圆杆扭转时横截面上的应力 1 变形几何关系 距圆心为 任一点处的 与到圆心的距离 成正比 扭转角沿长度方向变化率 目录 扭转 T 2 物理关系 虎克定律 代入上式得 扭转 3 静力学关系 令 代入物理关系式得 切应力与半径成正比 切应力与扭矩同向的顺流 纵向面内切应力 扭转 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式 t max 实心截面 危险点的位置 圆截面边缘处 令 抗扭截面系数 讨论 1 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形条件下的 等圆截面杆 公式的适用范围 2 在材料的比例极限范围内 实心圆截面 截面的极惯性矩和抗扭截面系数计算 扭转 空心圆截面 实心轴与空心轴Ip与Wt对比 扭转
6、空心圆截面的扭转切应力分布 t max t max t max 实心截面 空心截面 工程上采用空心截面构件 提高强度 节约材料 重量轻 结构轻便 应用广泛 圆轴扭转时的破坏 圆轴扭转时的破坏 塑性材料 低碳钢 脆性材料 铸铁 圆轴扭转时的强度计算 强度条件 对于等截面圆轴 称为许用切应力 强度计算三方面 校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷 1 等截面圆轴 2 阶梯形圆轴 扭转 例1 功率为150kW 转速为15 4转 秒的电动机转子 许用切应力 30MPa 试校核其强度 M M 扭矩图 计算并校核切应力强度 此轴满足强度要求 计算外力偶矩 T m 例2 已知 P 7 5kW n 100r m
7、in 最大切应力不得超过40MPa 空心圆轴的内外直径之比 0 5 二轴长度相同 求 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2 确定二轴的重量之比 计算外力偶矩 实心轴 P 7 5kW n 100r min 最大切应力不得超过40MPa 0 5 二轴长度相同 空心轴 0 5d2 23mm 确定实心轴与空心轴的重量之比 空心轴 D2 46mm d2 23mm 实心轴 d1 45mm 长度相同的情形下 二轴的重量之比即为横截面面积之比 1 计算抗扭截面模量 2 轴的最大切应力 例3某汽车传动轴 用45号钢无缝钢管制成 其外径D 90mm 壁厚t 2 5mm 使用时最大扭矩为T 1500N m 60MP
8、a 试校核此轴的强度 若此轴改为实心轴 并要求强度仍与原空心轴相当 则实心轴的直径为多少 所以此轴安全 3 若此轴改为实心轴 实心轴的横截面面积为 空心轴的横截面面积 空心轴与实心轴的重量之比 因此在承载能力相同的条件下 使用空心轴比较节约材料 比较经济 实心与空心对比 采用空心轴可有效地减轻轴的重量 节约材料 从截面的几何性质分析 采用空心轴的优势 轴心附近处的应力很小 根据应力分布规律 实心轴的轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用 其极惯性矩Ip必大于实心轴 扭转截面系数Wt也比较大 强度和刚度均又提高 横截面面积相同的条件下 空心轴材料分布远离轴心 1 受扭圆轴某截面的扭矩为T 20KN
9、 直径为D 100毫米 求该截面 三点的剪应力 并在图中标示出方向 2 内外径分别为20毫米和40毫米的空心圆轴承受扭矩T 1KNm的作用 计算A点 到圆心的距离为15毫米 的剪应力 并画出剪应力的分布图 3 作扭矩图 并求最大剪应力 4 n 80r min 轴的许用剪应力 60MP 设计实心轴的直径 5 已知轴传递的功率 如果二段轴内的最大剪应力相等 求二段轴的直径之比 6 圆轴的外经为D 90毫米 壁厚为 2 5毫米 承受的内径为T 1500N 轴的许用应力为 60MP 校核强度 7 画出下列各图的剪应力的分布规律 圆轴扭转变形 刚度条件 一 扭转时的变形 长为l一段杆两截面间相对扭转角
10、为 扭转角 任意两截面绕轴线转动而发生的相对角位移 如果内力沿轴线变化 或截面尺寸发生变化 二 单位长度扭转角 或 三 刚度条件 或 GIp 截面的抗扭刚度 反映了截面抵抗扭转变形的能力 称为许用单位扭转角 的数值按照对机器的要求决定 精密机器的轴 一般传动轴 精度要求不高的轴 刚度计算的三方面 校核刚度 设计截面尺寸 计算许可载荷 有时 还可依据此条件进行选材 例1图示等截面圆轴 已知d 90mm L 50cm 轴的材料为钢 G 80GPa 求 1 轴的最大切应力 2 截面B和截面C的扭转角 3 若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等 则在BC段钻孔的孔径d 应为多大 1 轴的最大切应力 d
11、 90mm L 50cm G 80GPa A B C 2 扭转角 截面B d 90mm L 50cm G 80GPa 3 BC段孔径d 扭转 某传动轴设计要求转速n 500r min 输入功率P1 500马力 输出功率分别P2 200马力及P3 300马力 已知 G 80GPa 70MPa 1 m 试确定 AB段直径d1和BC段直径d2 若全轴选同一直径 应为多少 主动轮与从动轮如何安排 轴的受力合理 7 024 4 21 1 内力图 2按强度设计直径 扭转 按刚度条件设计直径 T x 7 024 4 21 kNm 全轴选同一直径时 扭转 4 21 2 814 A轮和B轮应该换位 轴的合理受力
12、 扭矩的绝对值最大者越小越合理 换位后 轴的扭矩如下 轴的最大直径为75mm 1 M1 0 8KNm M3 1 5KNm d1 4厘米 d2 7厘米 G 80Gpa 求AC二截面的相对转角 及轴内最大的单位长度扭转角 2 轴的外经为D 76毫米 厚 2 5毫米 承受的扭矩为T 1 98KN 剪变模量G 80GP 许用扭转角 2度 m 许用剪应力为 100MP 校核该轴 3 传动轴每分钟200转 主动轮2输入80马力 1 3 4 5分别输出25马力 15马力 30马力 10马力 剪变模量G 80GP 许用扭转角 0 5 m 许用剪应力为 60MP 按等截面设计轴的直径 此轴承受的外力合理吗 如果
13、不合理 请重新安排齿轮的位置 此时按等截面设轴的直径 在合理安排齿轮的条件下 采用变截面 求每一段轴的直径 4 空心轴1 外经D1 内径 紧套在实心轴2 直径为 2 上整体受扭 二轴的扭转刚度分别为G1IP1 G2IP2 共同承受的扭矩为M 求二轴内各自的最大剪应力 5 AB段长为1米 BC段长为0 5米 P 1KN G 80GP AB 70MPa 设计AB段轴的直径 如果 AB 70MP 求由于轴的扭转而引起的C点的铅垂位移 BC段的变形不计 6 实心圆轴的直径为D 受力如图 求AC二截面的相对转角 轴内的最大剪应力 7 实心圆轴直径为D 100毫米 在外力偶M1 M2的作用下 AC段内的最
14、大剪应力为50MP 自由端相对于固定端扭转了0 1弧度 G 80GP 作轴的扭矩图 8阶梯状圆轴 D1 120毫米 D2 100毫米 AB BC 1m G 80GP M2 15KN 若使AC二截面的相对转角为0 求M1 轴内的最大剪应力 9 等截面传动轴的转速为n 191转 分 由A轮输入的功率为8KW 由B C D各轮输出的功率分别为3KW 1KW 4KW 已知轴的许用剪应力为 60MPa 剪变模量为G 80GPa 许用转角为 20 m 要求 首先合理安排各轮的位置 然后绘出轴的内力图 确定轴的直径D 10 外径100毫米 内径80毫米的空心圆轴 与一直径为80毫米的实心圆轴用平键连接 传递
15、的力偶矩如图 已知轴的许用剪应力为 45MPa 平键的尺寸为10 10 30 键的许用剪应力为 100MPa 许用的挤压应力为 bs 280MPa 1 校核轴的强度 不考虑键槽的影响 2 确定平键的个数 3 如何安排圆轮比较合理 扭转 解决扭转超静定问题的方法 静力学关系 物理关系 补充方程 变形协调关系 联立求解 圆轴扭转超静定问题 三关系法 步骤 例2 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成 杆和管的材料相同 剪切模量为G 试求组合杆承受外力偶矩M以后 杆和管内的最大剪应力 补充方程 4 补充方程与静力平衡方程联立 3 变形协调关系 1 静力学关系 2 物理关系 5 最大切应力 杆1
16、 管2 练习一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图 要求 1 作扭矩图 2 若M 10KN m 材料的 60MPa 试选择此等直圆截面杆直径 扭转静不定问题的解法 1 建立静力平衡方程 3 变形协调条件 4 补充方程 5 补充方程与静力平衡方程联立求解 2 应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系 材料扭转破坏的力学性质 低碳钢的扭转破坏 观察破坏方位 分析破坏原因 铸铁的扭转破坏 观察破坏方位 分析破坏原因 3 6非圆截面杆扭转 非圆截面杆 一 非圆截面杆的自由扭转 杆件扭转时 横截面的翘曲不受限制 自由扭转 任意两相邻截面的翘曲程度完全相同 工字钢截面杆的自由扭转 横截面上只有切应力 没有正应力 平面假设不成立 须由弹性力学方法求解 各截面发生翘曲不保持平面 由等直圆杆扭转时推出的应力 变形公式不适用 对比圆截面杆与非圆截面杆的自由扭转 二 非圆截面杆扭转时切应力分布规律 1 非圆截面杆扭转时 横截面边缘上各点的剪应力形成与边界相切的顺流 2 证明 1 必定等于零 由于纵向面为自由表面 故边缘上一点的切应力与边界相切 三 矩形截面杆自由扭转时横截面上的应力分布规律 分布规律 四 约束扭
