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1、专题升级训练25解答题专项训练(立体几何)1下图是一个几何体的直观图及它的三视图(其中正(主)视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧(左)视图为直角三角形，尺寸如图所示) (1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若G为BC的中点，求证：AEPG.2有一根长为3 cm，底面半径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？3. 如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE平面CBB1.(1)证明：DE平面ABC；(2)求四棱锥CABB1A1与圆柱OO1的体积比4. (202
2、0安徽江南十校二模，文18)如图所示，菱形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADE90，DAB60，AFDE，DEDA2AF2.(1)求四面体BDEF的体积；(2)求证：平面EAC平面EBD；(3)求证：AC平面BEF.5.已知正四面体ABCD(图1)，沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A)(1)证明：ABCD；(2)当A1D10，A1A28时，求四面体ABCD的体积6. 如图，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PB
3、，AB，BC的中点求证：(1)PA平面CDM；(2)SN平面CDM.7. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABC=90，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点(1)求证：MN平面BCC1B1；(2)求证：MN平面A1B1C；(3)求三棱锥MA1B1C的体积8(2020合肥市第三次质检，文18)在菱形ABCD中，AC2，BD4，AC与BD交于O，将ACD沿着AC折起，使D点至点D，且D点到平面ABC的距离为，如右图所示(1)求证：ACBD；(2)E是BO的中点，过C作平面ABC的垂线l，直线l上是否存在一点F，使EF平面ADC？若存在，求出CF的长；若不存在，
4、请说明理由参考答案1解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA面ABCD，PAEB，且PA4，BE2，ABADCDCB4，所以VPABCDPAS正方形ABCD444.(2)证明：连接BP.因为，EBABAP90，所以EBABAP，所以PBAAEB，所以PBABAEBEABAE90，所以PBAE.由题易证BC平面APEB，所以BCAE.又因为PBBCB，所以AE平面PBC，因为PG平面PBC，所以AEPG.2解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝
5、的最短长度AC5(cm)，故铁丝的最短长度为5 cm.3(1)证明：连接EO，OA.E，O分别为B1C，BC的中点，EOBB1.又DABB1，且DA=EO=BB1.四边形AOED是平行四边形，即DEOA.又DE平面ABC，AO平面ABC，DE平面ABC.(2)解：由题意知DE平面CBB1，且由(1)知DEOA，AO平面CBB1，AOBC，AC=AB.因BC是底面圆O的直径，得CAAB.而AA1CA，AA1AB=A，CA平面AA1B1B，即CA为四棱锥的高设圆柱高为h，底面半径为r，则V柱=r2h，V锥=，V锥V柱=.4解：(1)取AD中点为G，连接BG，则BGAD，又平面ABCD平面ADEF，
6、所以BG平面ADEF.在正ABD中，BG，可求DEF的面积为2，所以四面体BDEF的体积VBDEF2.(2)证明：因为平面ABCD平面ADEF，ADE90，所以ED平面ABCD，故EDAC.又ABCD是菱形，所以BDAC.故AC平面BDE.所以平面EAC平面EBD.(3)证明：设ACBDO，取BE中点H，连接FH，OH，所以OH綉DE.又AF綉DE，所以AF綉OH，所以四边形AFHO是平行四边形所以AOHF，故AC平面BEF.5(1)证明：在四面体ABCD中，AB平面ACDABCD.(2)解：在题图2中作DEA2A3于E.A1A2=8，DE=8.又A1D=A3D=10，EA3=6，A2A3=1
7、0+6=16.又A2C=A3C，A2C=8.即图1中AC=8，AD=10，由A1A28，A1BA2B得题图1中AB4.SACDSA3CDDEA3C8832.又AB面ACD，VBACD324.6证明：(1)在三棱锥PABC中，因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MDPA.因为MD平面CMD，PA平面CMD，所以PA平面CMD.(2)因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MDPA.因为PA平面ABC，所以MD平面ABC，又SN平面ABC，所以MDSN.在ABC中，连接DS，因为D，S分别为AB，BC的中点，所以DSAC且DSAC.又ABAC，所以ADSBAC90.因为ACAB，所以ACAD，所以
8、ADC45，因此CDS45.又AB4AN，所以DNADAC，即DNDS，故SNCD.又MDCDD，所以SN平面CMD.7. (1)证明：连接BC1，AC1.由题知点N在AC1上且为AC1的中点M是AB的中点，MNBC1.又MN平面BCC1B1，MN平面BCC1B1.(2)证明：三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，四边形BCC1B1是正方形，BC1B1C，MNB1C.连接A1M，由ABC=MAA1=90，BM=AM，BC=AA1得AMA1BMC.A1M=CM.又N是A1C的中点，MNA1C.B1C与A1C相交于点C，MN平面A1B1C.(3)解：由(2)知MN是三棱锥MA1B1C的高在直
9、角MNC中，MC=，NC=，MN=.又SA1B1C=，VMA1B1C=MNSA1B1C=.8解：(1)证明：设ACBDO，在菱形ABCD中，ACBD，ACOD，ACOB.又ODOBO，OD平面BOD，OB平面BOD，AC平面BOD.ACBD.(2)过D作DHDO于H，连接CH，AH，AE，CE.由(1)得平面BOD平面ABC，故HD平面ABC，故DH，所以OH1OE.四边形AECH为平行四边形，CHAE，CHAE.在l上截取CF，HD平面ABC，CF平面ABC，CFDH.又CFDH，四边形CFDH为平行四边形，CHDF，CHDF，而CHAE，CHAE，AEDF，DFAE，四边形DAEF为平行四边形，ADEF.又EF平面ADC，AD平面ADC，EF平面ADC，故存在F，使EF平面ADC，此时CF.
