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1、第六章 第五节 直接证明与间接证明一、选择题1(2020宜昌模拟)若函数F(x)f(x)f(x)与G(x)f(x)f(x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则 ()AF(x)、G(x)均为偶函数BF(x)为奇函数，G(x)为偶函数CF(x)与G(x)均为奇函数DF(x)为偶函数，G(x)为奇函数解析：f(x)的定义域为R，F(x)f(x)f(x)，G(x)f(x)f(x)的定义域也为R.又F(x)f(x)f(x)F(x)，G(x)f(x)f(x)G(x)，F(x)为偶函数，G(x)为奇函数答案：D2设S是至少含有两个元素的集合在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，bS，对
2、于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)若对任意的a，bS，有a*(b*a)b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是 ()A(a*b)*aaBa*(b*a)*(a*b)aCb*(b*b)bD(a*b)*b*(a*b)b解析：此题只有一个已知条件：a*(b*a)b.B中a*(b*a)b原式变为b*(a*b)a，成立C中相当于已知条件中a替换为b，明显成立D中，b*(a*b)a，原式变为(a*b)*ab成立答案：A3(2020永州模拟)函数yf(x)在(0,2)上是增函数，函数yf(x2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是 ()Af(2.5)f
3、(1)f(1)f(3.5)Cf(3.5)f(2.5)f(1)Df(1)f(3.5)f(2.5)解析：因为函数yf(x)在(0,2)上是增函数，函数yf(x2)是偶函数，所以x2是对称轴，在(2,4)上为减函数，由图象知f(2.5)f(1)f(3.5)答案：B4如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形解析：由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是
4、锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形由，得.那么A2B2C2，这与三角形内角和为180相矛盾所以假设不成立，所以A2B2C2是钝角三角形答案：D5不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数 ()A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得由得代入，得2b，即x2y22b2.故x2，b2，y2成等差数列答案：B6已知ABC的顶点A(x，y)，B(1,0)，C(1,0)，若ABC满足的条件分别是：(1)ABC的周长是6；(2)A90；(3)kABkAC
5、1；(4)kABkAC2.下面给出了点A的轨迹方程：(a)x2y21(y0)；(b)x2y21(y0)；(c)1(y0)；(d)yx21(y0)其中与条件(1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是 ()A(a)(b)(c)(d) B(c)(a)(d)(b)C(d)(a)(b)(c) D(c)(a)(b)(d)解析：由ABC的周长是6，|BC|2，可知点A在以B, C为焦点的椭圆上，y0，与(c)相对应；由A90，可知点A在以BC为直径的圆x2y21上，y0；由kABkAC1，化简得x2y21(y0)；显然(4)与(d)相对应答案：D二、填空题7某同学准备用反证法证明如下一个问题：函
6、数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|.那么他的反设应该是_答案：“x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|cos Acos Bcos C.证明：在锐角三角形中，AB，AB.0BAsin(B)cos B.即sin Acos B，同理sin Bcos C，sin Ccos A.sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.11用反证法证明：若a，b，c，dR，且adbc1，则a2b2c2d2abcd1.证明：假设a2b2c2d2abcd1，adbc1，a2b2c2
7、d2abcdadbc0.即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.必有ab0，cd0，ad0，bc0.可得abcd0.与adbc1矛盾，a2b2c2d2abcd1.12已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN*)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b.解：(1)由已知得an1an1，则an1an1，又a11，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列故an1(n1)1n.(2)由(1)知，ann，从而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因为bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以bnbn2b.
