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1、 2020高考数学选填题专项测试01（球）（文理通用）第I卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2019湖南长沙一中高三月考（文）某球中内接一个圆柱，其俯视图如图所示，为两个同心圆，半径之比为1 : 2，则该圆柱与球的体积的比值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据球和圆柱的半径求出球心到圆柱底面的距离，从而得出圆柱的高，再由圆柱的体积公式以及球的体积公式求解即可.【详解】设该圆柱和球的半径分别为，则，球心到圆柱底面的距离为，即该圆柱的高为，则该圆柱与球的体积的比值为，故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱的
2、体积公式以及球的体积公式，属于基础题.2（2020宁夏银川一中高三月考（理）已知正四面体的棱长为，则其外接球的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积.【详解】将正四面体放在正方体中如图所示，正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为，由于，即，所以正方体的外接球半径为，所以外接球的体积为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3（2020山西高三月考（文）在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为_.ABCD【答案】B【解析
3、】【分析】先用正弦定理求出外接圆的半径，然后利用求出三棱锥外接球的半径，即可算出表面积.【详解】设外接圆的半径为，则，设三棱锥外接球的半径为，则，故外接球的表面积.故答案为：【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.4（2019广东高三月考（文）如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（）ABCD【答案】 C【解析】由题意可知：截面是的外接圆，而是边长为的等边三角形，所以外接圆，则，所以.5（2019湖南长沙一中高三月考（文）已知某几何体的三视图如图所
4、示，则该几何体的外接球表面积为ABCD【答案】D【解析】【分析】首先根据三视图还原其直观图，再根据直观图找到四棱锥外接球的球心，计算球体的半径和表面积即可.【详解】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为的正方形，右侧面是腰长为的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为.设为球心，为的外心，底面的中心，为的中点，因为，所以，设外接圆的半径为，得到，.又因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球，同时考查了三视图，将三视图还原其直观图为解题的关键，属于中档题.6. （2020江西高三（理）已知正三棱柱的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于( )
5、ABCD【答案】A【解析】【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，先得出，然后，即时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，底面外接圆半径，由球的截面圆性质知，当且仅当时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知，即为异面直线与所成角或补角，所以.【点睛】异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.7（2020广东高三期末（理）已知三棱锥的底面是正三角形，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】设点是点在底面的射影,先分析可得是底面的垂心
6、,也是外心,则,则当互相垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可【详解】设点为的中点,则,因为点在侧面内的射影是的垂心,所以,设点是点在底面的射影,则平面,所以一定在上,因为,所以,所以是底面的垂心,也是外心,所以,则当互相垂直时体积最大,设球的半径为,则,所以,所以球的体积为，故选:D【点睛】本题考查棱锥的外接球体积,考查空间想象能力8. （2020安徽六安一中高三月考（理）在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】取BC的中点为，分别是正三角形ABC的中心和正方形BCDE的中心，根据已知条件可得平面ABC，AM平面
7、BCDE，过分别做的平行线交于，则为球心，求出，即可求出外接球的半径，即可求解.【详解】取BC的中点为，是正三角形ABC的中心,为正方形BCDE的中心，连接,则有，平面平面，平面平面=，平面ABC，AM平面BCDE，过分别做，则平面ABC，平面BCDE，交于，则为球心，所以四边形为矩形，所以外接球的体积为.故选:D.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，解题的关键是根据球的性质确定球心，考查空间想象能力，属于中档题.9. （2020山东高三期末）用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】画出正三棱柱内接于
8、球的直观图，设底面边长，由球的体积公式得，再由勾股定理得正三棱柱的，代入体积公式，利用基本不等式可求得。【详解】如图所示，正三棱柱内接于球的直观图，为底面的中心，因为。设底面边长，则，等号成立当且仅当，故选D.【点睛】本题以实际问题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁。10. （2019广东深圳中学高三月考（文）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由三视图画出三棱锥的空间立体图形，利用球的
9、性质找出球心的位置，再计算体积即可.【详解】由三视图画出三棱锥如图所示，过点做平面的垂线，交的延长线于点，由三视图知，因为是等腰直角三角形，所以的外接圆圆心为的中点，所以，设三棱锥外接球球心为，则平面，所以，所以，只需让即可，作且交于点，由图，设，即，解得，所以外接球半径，所以外接球体积.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体和求棱锥的外接球体积，考查学生的分析转化能力和空间想象能力，属于中档题.11. （2019安徽淮北一中高三月考（理）在三棱锥A-BCD中，平面ABC丄平面ADC, AD丄AC,AD=AC, ，若此三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（ ）A7B12C6
10、D【答案】C【解析】【分析】设三棱锥ABCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，ABC的外心为O1，ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2EAC，则OO1平面ABC，OO2平面ADC，连结OA，O1A，则O1Ar，设ADACb，则OO1O2Eb，由S4R228，解得R，由正弦正理求出b，若三棱锥ABCD的体积最大，则只需ABC的面积最大，由此能求出三棱锥ABCD的体积的最大值【详解】根据题意，设三棱锥ABCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，ABC的外心为O1，ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2EAC，则OO1平面ABC，OO2平面ADC，
11、如图，连结OA，O1A，则O1Ar，设ADACb，则OO1O2Eb，由S4R228，解得R，在ABC中，由正弦正理得2r，2r，解得b，在RtOAO1中，7r2+（）2，解得r2，b2，AC2，若三棱锥ABCD的体积最大，则只需ABC的面积最大，在ABC中，AC2AB2+BC22ABBCcosABC，12AB2+BC2ABBC2ABBCABBC，解得ABBC12，3，三棱锥ABCD的体积的最大值：6故选：C【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12. （2020四川高三月考（理）在三棱柱中，上平面,记和四边形的外
12、接圆圆心分别为,若,且三棱柱外接球体积为,则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接.设三棱柱的高为h，外接球的半径为R,先求出R,再求的值.【详解】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接.设三棱柱的高为h，外接球的半径为R,由题得在直角三角形中，在直角三角形中，,所以.故选：D【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13. （2020四川省泸县第一中学高三月考（文）三棱锥中，底面是边长为的等边三角形， 面， ,则
13、三棱锥外接球的表面积是_ .【答案】【解析】由题意可知三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球是边长为的正三角形的外接圆半径，球心到的外接圆圆心的距离为，球的半径为外接球的表面积为，故答案为点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；若面（），则（为外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.14.（2020山东高三期末）在直三棱柱中，且,，设其外接球的球心为，且球的表面积为，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】先计算球的半径为，确定球
14、心为的中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.【详解】球的表面积为，如图所示：为中点，连接 ，故三角形的外心在中点上，故外接球的球心为的中点.，在中：，故；在中：，故，故 ，故答案为：【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.15.（2020河南高三期末（理）在矩形ABCD中，BC4，M为BC的中点，将ABM和DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与C重合于点P.若APD150，则三棱锥MPAD的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】计算ADP外接圆的半径并假设外接球的半径为，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据PM面PAD， ，可得结果.【详解】由MPPA，MPPD，PMPAP，PM，PA平面PAD所以可得PM面PAD，设ADP外接圆的半径为，由正弦定理可得2r，即，所以，设三棱锥MPAD外接球的半径R，外接球的球心在过ADP外接圆的圆心且垂直于底面的直线上，则所以外接球的表面积为，答案为：【点睛】本题考查的是三棱锥的外接球的应用，属中档题.16. （2020河北衡水中学高三月考（理）在边长为的菱形中，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为_.
