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1、高考数学预测系列试题（10）解答题 适用：全国各地区数学解答题备考新题集锦16例1. 在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化. 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画. 其中：正整数表示月份且，例如时表示1月份；和是正整数；.统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同； 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.1 试根据已知信息，确定一个符合条件
2、的的表达式；一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.2在中，已知点在上，且.(1)若点与点重合，试求线段的长；(2)在下列各题中，任选一题，并写出计算过程，求出结果.(解答本题，最多可得6分)若，求线段的长；(解答本题，最多可得8分)若平分，求线段的长；(解答本题，最多可得10分)若点为线段的中点，求线段的长.3已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。（1）求的值；（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意
3、的正整数都有且，则称为数列的“上渐进值”，令，求数列的“上渐进值”。4已知及（1）求的定义域及的值；（2）求的最小值；（3）若，是否存在满足下列条件的正数，使得对于任意的正数，都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由5已知a，b是非零实常数，函数满足，且方程有且仅有一个解。（1）求a，b的值；（2）是否存在实常数m，使得对于定义域中任意的x，恒成立？为什么？（3）在直角坐标系中，若把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。试求到函数图象上任意一点的距离的最小值。6设数列的前n项和为，已知 ()，.设，证明数列为等比数列；求数列的通项公式；若，求a的取值范围
4、.7我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立.若定义在(0，)上的函数M，试比较与大小.给定两个函数：，.证明：.3 试利用的结论解决下列问题：若实数m、n满足，求mn的最大值.8. 如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的 正方形，其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）. 设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.当时，证明：顶点不在同一条直线上；在的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式.9. 设函数，其中为正整数.判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；证明：；对于任意给定的正整数，求函数的最大值
5、和最小值.第10题图10、如图所示，直线，点是轴上的一点，过作轴的垂线交、分别于、,过作轴的垂线交于，过作轴的垂线交于，依此类推分别作轴及轴的垂线，这样在直线、上分别得到点列及.设点.(1) 已知点,试写出数列的递推关系式;(2) 求数列的通项公式,并计算;(3) 考察(2)中的极限与两直线交点坐标之间的关系,试构造一个递推关系式并用计算器迭代求出方程在区间上的近似解(精确到0.01).11函数是这样定义的：对于任意整数，当实数满足不等式时，有第8题图求函数的定义域，并画出它在上的图像；若数列，记，求；若等比数列的首项是，公比为(q0)，第11题图又，求公比的取值范围12定义矩阵方幂运算：设A
6、是一个 的矩阵，定义。若，求，；猜测，并用数学归纳法证明。13杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律。下图是一个11阶杨辉三角：第13题图求第20行中从左到右的第4个数；若第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值；若n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35。显然，1+3+6+10+15=35。事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数。试用含有m、
7、k的数学公式表示上述结论，并给予证明。14在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：（）计算：；（）请用数学符号语言表述运算满足交换律和结合律，并任选其一证明；（）中是否存在唯一确定的元素满足：对于任意，都有成立，若存在，请求出元素；若不存在，请说明理由；（）试延续对集合的研究，请在上拓展性地提出一个真命题，并说明命题为真的理由15.有这样一个事实：从装有6个球的口袋中取出2个球，共有种取法。在这种取法中，可以分成一个指定的球被取到
8、和未被取到两类：一类是该指定的球被取到，共有种取法；另一类是该指定的球未被取到，共有种取法。请从上述事实中提炼出一个有意义的等式；请写出中等式的一般形式，使中等式成为特例，并证明你写出的等式；根据题目中的事实，请你将中的等式推广到更一般的形式，使中等式成为特例，说明这个等式的实际意义，并证明这个等式。16在二项式定理这节教材中有这样一个性质：计算的值方法如下：设又相加得即所以利用类似方法求值： 将的情况推广到一般的结论，并给予证明设是首项为，公比为的等比数列的前项的和，求【参考答案】 1； 7，8，9，10。 2. 当时，延长到，使，联结，则由余弦定理可得 .3 ; ;（3）数列的“上渐进值”等于3.4. ; ; （3）存在，满足题设条件.5. ，. （2）存在; （3）6.（2）; （3），且7.（1）（3）mn最大值为2. 8. （3）. 9.（1）函数在上单调递增;（2）当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.当为偶数时，函数的最大值为，最小值为.10. （1）;（3）5.51.11.(1）函数的定义域是;（2）;（3）12，； ，用数学归纳法证明。13 14解：（）；（）、（）、（）15.+= 16 时 时
