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1、2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷06数学试题I一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分1. 设集合M1,0,1,Nx|x2x0,则MN_答案:1,0解析:由Nx|1x0,M1,0,1,得MN1,02. 命题“x1,使得x22”的否定是“_”答案:x1,使得x22解析:本题主要考查特称命题的否定是全称命题3. 已知i是虚数单位,复数z的共轭复数为z.若2zz23i,则z_答案:2i解析:设zabi,由已知条件,得2a2bia2(b3)i,则2aa2,2b(b3),则a2,b1,则z2i.4. 现有4名学生A,B,C,D平均分乘两辆车,则“A,B两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为_
2、答案:解析:4名学生A,B,C,D平均分乘两辆车,有(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),(CD,AB),(BD,AC),(BC,AD)共6个基本事件,A,B两人恰好乘坐在同一辆车共有(AB,CD),(CD,AB)2个基本事件,则所求事件的概率为.5. 曲线yex在x0处的切线方程是_答案:yx1解析:kye01,切点坐标为(0,1),则切线方程为yx1.6. 如图是一个输出一列数的算法流程图,则这列数的第三项是_答案:30解析:这列数的第一项是3,第二项是6,第三项是30.7. 定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)2xx2,则f(0)f(1)_答案:1解析:f(x)是定义
3、在R上的奇函数,则f(0)0,f(1)f(1) 1,f(0)f(1)011.8. 已知等差数列an的公差为d,若a1,a2,a3,a4,a5的方差为8,则d的值为_答案:2解析:a1,a2,a3,a4,a5的平均数为a3,而a1,a2,a3,a4,a5的方差为8,由方差公式,得4d2d2d24d240,d24,则d2.9. 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD3 cm,AA12 cm,则三棱锥AB1D1D的体积为_ cm3.(第9题)答案:3解析:三棱锥AB1D1D的体积233(cm3)10. 已知,cos ,sin(),则cos _答案:解析:由,cos ,得sin .又,si
4、n(),得cos() ,则cos cos() cos()cos sin()sin .11. 已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k(x1)有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是_答案:解析:方程f(x)k(x1)有两个不同的实数根,说明yk(x1) 与yf(x)的图象有两个交点,画出函数f(x)的图象,yk(x1)是过(1,0)的动直线,可得k的取值范围是.12. 圆心在抛物线yx2上,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为_答案:(x1)21解析:抛物线2yx2,则该抛物线的准线方程为y.设圆心坐标为(a,b),由题意知解得则圆的半径r1,圆的标准方程为(x1)21.13. 已
5、知点P是ABC内一点(不包括边界),且mn,m,nR,则(m2)2(n2)2的取值范围是_答案:解析:点P是ABC内一点(不包括边界),且mn,可得作出可行域,可知点E(2,2)到可行域的最小距离为,最大距离为2,则(m2)2(n2)2的取值范围是.14. 已知ab2,b0,当取最小值时,实数的a值是_答案:2解析:2,当且仅当a2,b4时等号成立二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bcos Cccos B2acos A.(1) 求A的大小;(2) 若,求ABC的
6、面积解:(1) (解法1)在ABC中,由正弦定理及bcos Cccos B2acos A,得sin Bcos Csin Ccos B2sin Acos A,(3分)即sin A2sin Acos A,因为A(0,),所以sin A0,所以cos A,(6分)所以A.(8分)(解法2)在ABC中,由余弦定理及bcos Cccos B2acos A,得bc2a,(3分)所以a2b2c2bc,所以cos A.(6分)因为A(0,),所以A.(8分)(2) 由cbcos A,得bc2,(11分)所以ABC的面积为Sbcsin A2sin 60.(14分)16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABC
7、D中,底面ABCD是正方形,侧面PAD底面ABCD,且PAPDAD.若E,F分别为PC,BD的中点求证:(1) EF平面PAD;(2) EF平面PDC.证明:(1) 连结AC,因为正方形ABCD中,F是BD的中点,则F是AC的中点又E是PC的中点,所以在CPA中,EFPA.(3分)因为PA平面PAD,EF平面PAD,所以EF平面PAD.(6分)(2) 因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,CD平面ABCD,又CDAD,所以CD平面PAD.(8分)又PA平面PAD,所以CDPA.因为EFPA,所以EFCD.(10分)又PAPDAD,所以PAD是等腰直角三角形,且APD,即PAP
8、D.又EFPA,所以EFPD.(13分)而CDPDD,所以EF平面PDC.(14分)17. (本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(3,1)在椭圆上,PF1F2的面积为2,点Q是PF2的延长线与椭圆的交点(1) 求椭圆C的标准方程; 若PQF1,求QF1QF2的值;(2) 直线yxk与椭圆C相交于A,B两点若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值解:(1) 由条件,点P(3,1)在椭圆1上,PF1F2的面积为2,得1,c2.(2分)又a2b2c2,所以a212,b24,所以椭圆的标准方程为1.(4分) 当PQF1时,有(6
9、分)所以QF1QF2.(8分)(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),由得4x26kx3k2120.(10分)x1x2,x1x2,y1y2.(12分)因为以AB为直径的圆经过坐标原点,则x1x2y1y2k260,解得k,此时1200,满足条件因此k.(14分)18. (本小题满分16分)如图,某城市小区有一个矩形休闲广场,AB20 m,广场的一角是半径为16 m的扇形BCE绿化区域为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松,现决定在广场上安置两排休闲椅,其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计),点M在线段AD上(不与端点重合),并且与曲线CE相切;另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度
10、不计)摆放已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元,单人弧形椅的造价每米为a元,记锐角NBE,总造价为W元(1) 试将W表示为的函数W(),并写出cos 的取值范围;(2) 如何选取点M的位置,能使总造价W最小解:(1) 过N作AB的垂线,垂足为F;过M作NF的垂线,垂足为G.在RtBNF中,BF16cos ,则MG2016cos .在RtMNG中,MN.(4分)由题意得16,(6分)因此,W()2a16a,(7分)cos .(9分)(2) W()16a8a8a.令W()0,得cos ,设锐角1满足cos 1,1,因为,所以,(12分)当时,W()0,W()单调递减;当时,W()0,W()单调递增
11、(14分)所以当时,总造价W最小,最小值为a,此时MN8,NG4,NF8,因此当AM4 m时,能使总造价最小(16分)19. (本小题满分16分)在数列an中,已知a12,an13an2n1.(1) 求证:数列ann为等比数列;(2) 记bnan(1)n,且数列bn的前n项和为Tn.若T3为数列Tn中的最小项,求的取值范围(1) 证明: an13an2n1, an1n13(ann)又a12, an0,ann0,故3, ann是以3为首项,公比为3的等比数列(4分)(2) 解:由(1)知ann3n, bn3nn.(6分) Tn31323n(123n)(3n1).(8分)若T3为数列Tn中的最小项
12、,则对nN*有(3n1)396恒成立,即3n181(n2n12)对nN*恒成立(10分)1 当n1时,有T1T3;2 当n2时,有T2T39;(12分)3 当n4时,n2n12(n4)(n3)0恒成立, 对n4恒成立令f(n),则f(n1)f(n)0对n4恒成立, f(n)在n4时为单调递增数列 f(4),即.(15分)综上,9,即的取值范围为.(16分)20. (本小题满分16分)已知函数f(x)xln x,g(x)x2ax.(1) 求函数f(x)在区间t,t1(t0)上的最小值m(t);(2) 令h(x)g(x)f(x),A(x1,h(x1),B(x2,h(x2)(x1x2)是函数h(x)图象上任意两点,且满足1,求实数a的取值范围;(3) 若存在x(0,1,使f(x)成立,求实数a的最大值.解:(1) f(x)1,令f(x)0,得x1.当t1时,f(x)在t,t1上单调递增,f(x)的最小值为f(t)tln t;(1分)当0t1时,f(x)在区间(t,1)上为减函数,在区间(1,t1)上为增函数,f(x)的最小值为f(1)1.综上,当0t1时,m(t)1;当t1时,m(t)tln t(3分)(2) h(x)x2(a1)xln x,对于任意的x1,x2(0,),不妨取x1x2,则x1x20,则由1,可得h(x1)h(x2)x1x2,变形得h(x1)x1h(x2)x2恒成立