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1、应用性问题高考要求：数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题 高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求 重难点归纳 1 解应用题的一般思路可表示如下：2 解应用题的一般程序（1）读 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础 （2）建 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关 （3）解 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程 （4）答 将数学结论还原给实际问题的结果 3 中
2、学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 （2）预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 （3）最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值 （4）等量关系问题 建立“方程模型”解决（5）测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决 例1为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现
3、有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？例2某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润（单位：万元）。为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中。记第个月的利润率为，例如。 （1）求； （2）求第个月的当月利润率； （3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率。例3 一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图），现在小船在水平P点以南的4
4、0米处，汽车在桥上Q点以西30米处（其中PQ水面），则小船与汽车间的最短距离为 （不考虑汽车与小船本身的大小） 例4 小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序 （1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟 以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用 分钟 例5 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律 每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足R(x)
5、= 假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律 （1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？1 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示： 产品 消耗量资源甲产品（每吨）乙产品（每吨）资源限额（每天）煤（t）94360电力（kwh）45200劳力（个）310300利润（万元）612 问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？2 某体育彩票规定 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到1
6、7中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A 1050元 B 1052元 C 2100元 D 2102元3 一长方形泳池中相邻的两条泳道和(看成两条互相平行的线段)分别长90米,甲在泳道上从处出发,以3米/秒的速度到达以同样的速度返回处,然后重复上述过程;乙在泳道上从处出发,以2米/秒的速度到达以同样的速度游回处,然后重复上述过程.(不考虑每次折返时的减速和转向时间).两人同时开始运动.A1A2B1B2(1)设甲离开池边处的距离为y米,当时间(单位: 秒)时,写出y关于t的函数解析式.(2)在右图的直角坐标系中,x
7、轴表示时间(单位:秒),y轴表示离开池边处的距离.在同一个坐标系中画出甲乙两人各自运动的函数图像.(实线表示甲的图像,虚线表示乙的图像).(3)请根据图像判断从开始运动起到3分钟为止,甲乙的相遇次数.4 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，（）.（）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨? （）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象.5 运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v
8、千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元 且bac,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等 试确定使用哪种运输工具总费用最省 （题中字母均为正的已知量）6 已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0t24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据t（时）03691215182124y（米）1.51.00.51.01.491.00.510.991.5经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acost+b （1）根据以上数据，求出函数y=Acost+b的最小正周期T，振幅A及
9、函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午800至晚上2000之间，有多少时间可供冲浪者进行运动 7 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件（）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？8 某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x万件并全部销售完，每万件的销售收入为R（x）
10、万元.且（注：年利润二年销售收入年总成本）（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？ 参考答案 例1. 命题意图 本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力 知识依托 重要不等式、导数的应用、建立函数关系式 错解分析 不能理解题意而导致关系式列不出来，或a与b间的等量关系找不到 技巧与方法 关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决 解法一 设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y，则由条件y=(k0为比例系数)其中a、b满足2a+
11、4b+2ab=60 要求y的最小值，只须求ab的最大值 由(a+2)(b+1)=32(a0,b0)且ab=30(a+2b)应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)4ab18，当且仅当a=2b时等号成立 将a=2b代入得a=6,b=3 故当且仅当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 解法二 由2a+4b+2ab=60,得,记(0a30)则要求y的最小值只须求u的最大值 由，令u=0得a=6且当0a6时，u0，当6u30时u0,在a=6时取最大值，此时b=3 从而当且仅当a=6，b=3时,y=取最小值 例2. 解：（1）依题意得（2）当时，。当时，也符合上式。故当时，。
12、当时， 所以第个月的当月利润率为。（3）当时，是减函数，此时的最大值为。当时，当且仅当，即时，有最大值。又， 当时有最大值。即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为。例3. 解析 设经过时间t汽车在A点，船在B点，（如图），则AQ=3020t,BP=4010t,PQ=20,且有AQBP，PQAQ，PQPB，设小船所在平面为,AQ,QP确定平面为,记=l,由AQ,AQ得AQl,又AQPQ，得PQl,又PQPB，及lPB=P得PQ 作ACPQ，则AC 连CB，则ACCB，进而AQBP，CPAQ得CPBP，AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（4010t
13、）2+(3020t)2=1005(t2)2+9,t=2时AB最短，最短距离为30 m 答案 30 m例4. 解析 按以下工序操作所需时间最少，、（并在此时完成、）所用时间为2+10+3=15分钟 答案 15 例5. 解 依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则(1)要使工厂有赢利，则有f(x)0 当0x5时，有04x2+32x280,得1x7,15时，有82x0,得x82,5x82 综上，要使工厂赢利，应满足1x5时f(x)825=32所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x=4时，每台产品售价为=24（万元/百台）=240（元/台） 1 解：设此工厂应分别生产甲、乙两种
14、产品x吨y吨，获得利润z万元依题意可得约束条件： 利润目标函数 如图，作出可行域，作直线向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值。解方程组 y(m)t(s)3090150所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。2 解析 从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花10502=2100元 答案 C3 (1) (2)如右图.(说明:若写出乙的函数解析式，则给予相应的得分） 90 (3)五次. 4 解：（）设小时后蓄水池中的水量为吨，则； 令；则且，
