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1、2020届高三数学复习 函数 方程 不等式解题方法集锦函数是高中数学的重要内容，也是历年高考所占比例最大的的一部分内容。对函数内容的考查一般都高于大纲的要求，高考试题中对函数内容的考查主要集中在函数的概念、性质，函数图象的变换等方面，并注意与方程、不等式、数列等内容相联系，进行综合考查，在考查中突出函数的思想、数形结合的思想。特别需注意的是在复习中必须加强对二次函数的再学习，再认识，从新的角度研究二次函数，加深对二次函数的理解和掌握。方程可看作函数值为零时的函数的解析式，而不等式则是函数的图象位于x轴上方的情形。在解决方程、不等式的有关问题时，可以从函数的角度去思考、分析和解决；在解决函数的有
2、关问题时，可以借助方程、不等式的有关知识去理解和解决。这是解决这类问题的一个重要的策略。一、对函数、方程、不等式的基本问题要熟练掌握象函数有关的概念、基本性质、函数的图象及解不等式等问题都是基本问题，在高考试题中一般都是中、低档题目，所以必须提高解决这类问题的准确性和熟练性。【例1】（99年全国）已知映射f:AB,其中集合A=-3，-2，-1，1，2，3，4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是（ ）A.4B.5C.6D.7分析：解决此题的关键有两个，一是要熟悉映射的定义，二是准确理解题意。根据映射的定义，可知对于集合A
3、中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应；而根据题意，集合B是集合A的象集，由对应法则，不难得出集合B=1，2，3，4，故应选A。【例2】（99年全国）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab0，则g(b)等于A.aB.a-1C.bD.b-1分析：此题主要考查反函数的概念。g(b)是函数y=f(x)当函数值为b时的自变量的值，所以g(b)= a，故选A。与此相类似的还有：（2000年上海春季）若函数f(x)=，则f-1()= .【例3】(2001年全国春季)设函数f(x)=，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。分析：解决有关概念问题，一般都可
4、以从它的定义开始。这个函数的单调区间既可以利用图象来求，也可以利用定义域结合特殊值的方法来求；证明也有两种方法，一是利用单调性的定义，二是利用函数的导数证明。解法1：函数f(x)=的定义域为（-，-b）(-b,+)。函数f(x)在（-，-b）上是减函数，在(-b,+)上也是减函数。取x1,x2(-b,+)，且x10,x2-x10,(x1+b)(x2+b)0.f(x1)-f(x2)0,即f(x)在(-b,+)上是减函数。同理可证f(x)在（-，-b）上也是减函数。解法2：f/(x)=,显然，当x-b时，f/(x)0。解不等式:f(x) 1.分析：这个不等式是一个无理不等式，解无理不等式的基本思路
5、是转化为有理不等式，然后再解。转化的基本方法是两边平方，在两边平方时要注意等价性。解：f(x) 1即由（2）得：x(a2-1)x+2a0.当 0a1时，得：x0或。而这时因为，所以，当0a0恒成立，试求a的取值范围。分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用。当a=时，f(x)=，当且仅当时等号成立，而，也就是说这个最小值是取不到的。解：(1)当a=时，f(x)=，这时f/(x)=1-,当x时，f/(x)0,说明函数f(x)为增函数，所以当x=1时，取到最小值f(1)=3.5.(2)解法1：f(x)0恒成立，就是x2+2x+a0恒成立，而函数g(x)=x2+2x+a在上增函
6、数，所以当x=1时，g(x)取到最小值3+a，故3+a0，得：a-3。解法2：f(x)0恒成立，就是x2+2x+a0恒成立，即a-x2-2x恒成立，这只要a大于函数-x2-2x的最大值即可。而函数-x2-2x在上为减函数，当x=1时，函数-x2-2x取到最大值-3，所以a-3。函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题。二、对函数、方程、不等式之间的联系要能灵活运用【例6】（97年全国）不等式组的解集是Ax|0x2Bx|0x2.5Cx|0xDx|0x2时，有f（x）0，于是有a0，故b0.【
7、例8】（2000年全国）已知函数f(x)=，求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数。分析：设x1,x2 ，且x1x2,则:f(x1)-f(x2)= =.由于x1-x2x1+x20.从而1.当a1时，函数f(x)是减函数；（想方程）当0a1时，在区间上存在两点x1=0,x2=,满足f(x1)=1,f(x2)=1,即f(x1)=f(x2)，所以函数f(x)在区间 上不是单调函数。说明：（1）本题解决的关键就是利用方程来说明函数不具有单调性；（2）本题也可以利用求导数的方法解决。三、对二次函数的理解和掌握要更加深刻二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（2）顶点式：
8、y=a(x-m)2+n,其中(m,n)是抛物线的顶点。（3）两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根。【例9】已知二次函数y= ax2+bx+c。（1）对于x1,x2R,且x1 x2，f(x1)f(x2),求证：方程f(x)=f(x1)+f(x2)有两个不相等的实根，且只有一个根属于(x1,x2)；（2）若方程f(x)=f(x1)+f(x2)在(x1,x2)内的根为m，且x1,m-,x2成等差数列，设x=x0是f(x)的对称轴方程，求证：x00(x1x2).设g(x)= f(x)-f(x1)+f(x2),则因为g(x1)g(x2)= f(x1)-f
9、(x1)+f(x2) f(x2)-f(x1)+f(x2)=f(x1)-f(x2)20(f(x1)f(x2),所以在(x1,x2)上必有一个实根。（2）因为x1,m-,x2成等差数列，所以x1+x2=2m-1.由2f(m)= f(x1)+f(x2),得：a(2m2-x12-x22)+b(2m-x1-x2)=0,将上式代入，得：b=-a(2m2-x12-x22),所以x0=.【例10】（97年全国）设二次函数f(x)= ax2+bx+c，方程f(x)-x=0的两根x1,x2满足0x1x2.（1）当x(0,x1)时，证明：xf(x)x1.（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0.分
10、析：（1）欲证xf(x)x1，只要0f(x)- xx1-x，即0a（x-x1）（x-x2）x1-x，同除a（x-x1）0，得：0 x2-x。（2）欲证x0，即证，而x1,x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的两根，所以x1+x2=，故=。【例11】已知a,b,cR，函数f(x)= ax2+bx+c.（1）若a+c=0，f(x)在-1,1上的最大值为2，最小值为，证明：a0且|0，p、q满足p+q=1，且对任意的实数x、y均有pf(x)+qf(y)f(px+qy)，证明：0p1.分析：（1）用反证法。假设a=0或|2，由a+c=0，得a=-c，故f(x)= ax2+bx- a.当a=0时，f(x)= bx，是一个单调函数，其最大值为|b|，最小值为-|b|，又已知得：|b|=2且-|b|=，矛盾，故a0。当|2时，|-|1，函数f(x)在-1,1上也是单调函数，由上可知矛盾，故|2。综合以上两种情况，得a0且|0,(x-y)20，所以pq0,p(1-p)0，故0p1.
