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1、2020届高三数学复习 函数 方程 不等式解题方法集锦函数是高中数学的重要内容,也是历年高考所占比例最大的的一部分内容。对函数内容的考查一般都高于大纲的要求,高考试题中对函数内容的考查主要集中在函数的概念、性质,函数图象的变换等方面,并注意与方程、不等式、数列等内容相联系,进行综合考查,在考查中突出函数的思想、数形结合的思想。特别需注意的是在复习中必须加强对二次函数的再学习,再认识,从新的角度研究二次函数,加深对二次函数的理解和掌握。方程可看作函数值为零时的函数的解析式,而不等式则是函数的图象位于x轴上方的情形。在解决方程、不等式的有关问题时,可以从函数的角度去思考、分析和解决;在解决函数的有
2、关问题时,可以借助方程、不等式的有关知识去理解和解决。这是解决这类问题的一个重要的策略。一、对函数、方程、不等式的基本问题要熟练掌握象函数有关的概念、基本性质、函数的图象及解不等式等问题都是基本问题,在高考试题中一般都是中、低档题目,所以必须提高解决这类问题的准确性和熟练性。【例1】(99年全国)已知映射f:AB,其中集合A=-3,-2,-1,1,2,3,4,集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的aA,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中元素的个数是( )A.4B.5C.6D.7分析:解决此题的关键有两个,一是要熟悉映射的定义,二是准确理解题意。根据映射的定义,可知对于集合A
3、中的每一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应;而根据题意,集合B是集合A的象集,由对应法则,不难得出集合B=1,2,3,4,故应选A。【例2】(99年全国)若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab0,则g(b)等于A.aB.a-1C.bD.b-1分析:此题主要考查反函数的概念。g(b)是函数y=f(x)当函数值为b时的自变量的值,所以g(b)= a,故选A。与此相类似的还有:(2000年上海春季)若函数f(x)=,则f-1()= .【例3】(2001年全国春季)设函数f(x)=,求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性。分析:解决有关概念问题,一般都可
4、以从它的定义开始。这个函数的单调区间既可以利用图象来求,也可以利用定义域结合特殊值的方法来求;证明也有两种方法,一是利用单调性的定义,二是利用函数的导数证明。解法1:函数f(x)=的定义域为(-,-b)(-b,+)。函数f(x)在(-,-b)上是减函数,在(-b,+)上也是减函数。取x1,x2(-b,+),且x10,x2-x10,(x1+b)(x2+b)0.f(x1)-f(x2)0,即f(x)在(-b,+)上是减函数。同理可证f(x)在(-,-b)上也是减函数。解法2:f/(x)=,显然,当x-b时,f/(x)0。解不等式:f(x) 1.分析:这个不等式是一个无理不等式,解无理不等式的基本思路
5、是转化为有理不等式,然后再解。转化的基本方法是两边平方,在两边平方时要注意等价性。解:f(x) 1即由(2)得:x(a2-1)x+2a0.当 0a1时,得:x0或。而这时因为,所以,当0a0恒成立,试求a的取值范围。分析:本题考查求函数的最值的方法,以及等价变换和函数思想的运用。当a=时,f(x)=,当且仅当时等号成立,而,也就是说这个最小值是取不到的。解:(1)当a=时,f(x)=,这时f/(x)=1-,当x时,f/(x)0,说明函数f(x)为增函数,所以当x=1时,取到最小值f(1)=3.5.(2)解法1:f(x)0恒成立,就是x2+2x+a0恒成立,而函数g(x)=x2+2x+a在上增函
6、数,所以当x=1时,g(x)取到最小值3+a,故3+a0,得:a-3。解法2:f(x)0恒成立,就是x2+2x+a0恒成立,即a-x2-2x恒成立,这只要a大于函数-x2-2x的最大值即可。而函数-x2-2x在上为减函数,当x=1时,函数-x2-2x取到最大值-3,所以a-3。函数、方程不等式之间有着密切的联系,在解题时要重视这种联系,要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题,也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题。二、对函数、方程、不等式之间的联系要能灵活运用【例6】(97年全国)不等式组的解集是Ax|0x2Bx|0x2.5Cx|0xDx|0x2时,有f(x)0,于是有a0,故b0.【
7、例8】(2000年全国)已知函数f(x)=,求a的取值范围,使函数f(x)在区间上是单调函数。分析:设x1,x2 ,且x1x2,则:f(x1)-f(x2)= =.由于x1-x2x1+x20.从而1.当a1时,函数f(x)是减函数;(想方程)当0a1时,在区间上存在两点x1=0,x2=,满足f(x1)=1,f(x2)=1,即f(x1)=f(x2),所以函数f(x)在区间 上不是单调函数。说明:(1)本题解决的关键就是利用方程来说明函数不具有单调性;(2)本题也可以利用求导数的方法解决。三、对二次函数的理解和掌握要更加深刻二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(2)顶点式:
8、y=a(x-m)2+n,其中(m,n)是抛物线的顶点。(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根。【例9】已知二次函数y= ax2+bx+c。(1)对于x1,x2R,且x1 x2,f(x1)f(x2),求证:方程f(x)=f(x1)+f(x2)有两个不相等的实根,且只有一个根属于(x1,x2);(2)若方程f(x)=f(x1)+f(x2)在(x1,x2)内的根为m,且x1,m-,x2成等差数列,设x=x0是f(x)的对称轴方程,求证:x00(x1x2).设g(x)= f(x)-f(x1)+f(x2),则因为g(x1)g(x2)= f(x1)-f
9、(x1)+f(x2) f(x2)-f(x1)+f(x2)=f(x1)-f(x2)20(f(x1)f(x2),所以在(x1,x2)上必有一个实根。(2)因为x1,m-,x2成等差数列,所以x1+x2=2m-1.由2f(m)= f(x1)+f(x2),得:a(2m2-x12-x22)+b(2m-x1-x2)=0,将上式代入,得:b=-a(2m2-x12-x22),所以x0=.【例10】(97年全国)设二次函数f(x)= ax2+bx+c,方程f(x)-x=0的两根x1,x2满足0x1x2.(1)当x(0,x1)时,证明:xf(x)x1.(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0.分
10、析:(1)欲证xf(x)x1,只要0f(x)- xx1-x,即0a(x-x1)(x-x2)x1-x,同除a(x-x1)0,得:0 x2-x。(2)欲证x0,即证,而x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两根,所以x1+x2=,故=。【例11】已知a,b,cR,函数f(x)= ax2+bx+c.(1)若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值为2,最小值为,证明:a0且|0,p、q满足p+q=1,且对任意的实数x、y均有pf(x)+qf(y)f(px+qy),证明:0p1.分析:(1)用反证法。假设a=0或|2,由a+c=0,得a=-c,故f(x)= ax2+bx- a.当a=0时,f(x)= bx,是一个单调函数,其最大值为|b|,最小值为-|b|,又已知得:|b|=2且-|b|=,矛盾,故a0。当|2时,|-|1,函数f(x)在-1,1上也是单调函数,由上可知矛盾,故|2。综合以上两种情况,得a0且|0,(x-y)20,所以pq0,p(1-p)0,故0p1.