高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切知识精讲

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1、高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切【本讲主要内容】 两角和与差的正弦、余弦、正切【知识掌握】【知识点精析】 1. 两角和与差的三角函数公式 2. 两角和的余弦与正弦公式是本章各类公式的基础，在这两个公式中，两角和的余弦公式又是基础，因为两角和的正弦公式是它与诱导公式导出的。 3. 公式具有一般性，即、可为任意角，通过对展开式进行比较，可总结出规律：的展开式是“异名同号”；的展开式是“同名异号”。 公式也具有一般性，但应明确：公式是在，时成立，否则不成立。 4. 注意公式的逆用或变形应用 例如：， 5. 在公式的应用中还要注意“角的演变”规律 例如：； 6. 重要结论 将化为一个角的一种三角函

2、数形式 解： 令，则： （其中角所在象限由a，b符号确定，角的值由确定） 注意：将化为一个角的一种三角函数形式与本题解法，类似本题解法具有一般性，并且有记忆价值，它是解答此类问题的基础。 例如：【解题方法指导】 例1. 已知 求： 分析：本题运用角的演变关系求解。根据已知中的角和欲求式子中的角的形式考虑，设 解： 或 评注：对角进行演变是解答三角函数问题的逻辑方法，如何对角进行演变？主要是对照条件和结论，同学们应该掌握常见的角的演变形式（前面已介绍）。再有解本题时，很容易忽略对角的范围的确定，若漏掉这一条件，就会得出或两组解。 例2. 计算： （1）（2） 分析：逆向使用公式，变形使用公式是化

3、简求值常用的方法，熟练地掌握公式是解决此类问题的关键。 （1）解法一： 解法二： （2）解： 评述：（1）题中解法一是正用公式，使问题得到解决，但显得比较烦琐。解法二是通过变换，凑出了两角和的正切公式形式，逆用公式使问题得以解决。 （2）题是利用公式的变形 以后在涉及到两正切值的和与两正切值的积的问题中常用此变形。 还需要说明的是：在正用、逆用、变形应用公式解题时，由于所求的式子与公式有一定距离，应先变形、整理，再应用公式。 例3. 已知方程的两根分别为，且 求的值。 分析：本题考查了两角和三角函数公式以及同角三角函数关系式的应用。 解：由韦达定理得 评述：整个解题过程就是统一角、统一函数的过

4、程。 其中由，如何求的值是难点，而将所求式子转化为用表示的式子是关键，这就需要将所求式子看成是分母为“1”的分式，再把“1”用代换将分子、分母都变为二次齐次式，然后将分子、分母同时除以，这样就得到了用表示的式子。问题得以解决。【考点突破】【考点指要】 两角和与差的三角函数是三角的重要组成部分，高考试题中以考查学生利用这些公式进行恒等变形的技能和一定的逻辑推理能力及运算能力为主，题型有选择题，填空题，以容易题为主，所占分值一般是5分。 但观察近两年的高考题，不难发现，通过一个题目考查多个知识点的高考题呈上升趋势。 例如：已知函数 （I）求f(x)的定义域。 （II）设是第四象限角，且，求的值。

5、这道题就同时考查了“三角函数定义域”；“三角函数值的符号”；“同角三角函数基本关系式”；“两角和与差的三角函数公式”；“倍角公式”等多个知识点。以解答题形式出现，属于中档题分值占12分。（本题在下一讲例题分析中给出详解） 本讲内容在高考中主要考查： 三角变换的基本问题是利用三角公式进行三角函数的化简，求值及三角恒等式的证明。历年高考中，在考查三角公式的掌握和运用的同时，特别注重的是考查学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。 解决“两角和与差的三角函数”问题的基本思路和方法： 了解用两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：化简题，求值题，证明题。 对公式会“

6、正用”，“逆用”，“变形使用”。 掌握变角解题的规律，学会一些拆角、凑角的技巧。 领悟公式与其它知识的结合使用。【典型例题分析】 例4. 已知_。 分析：观察已知条件中角的结构和所求式子的角的结构，本题应这样配凑角 解： 评注：本题主要考查两角差的三角函数，同时考查同角三角函数的基本关系和三角函数中的角的关系的变换。 在解题过程中，有些同学缺乏整体思维意识，不能从整体上把握，这些角，而是将已知三角函数式展开来做，越化越繁，导致最终半途而废。 例5. 已知锐角三角形ABC中， （I）求证： （II）设AB3，求AB边上的高 分析：，所以将已知两式用两角和差公式展开，联立成方程组，整体解出与的值，

7、再将两式相除，即可求解。 解：（I）证明：， （II）解：三角形ABC是锐角三角形， 而 即 将tanA2tanB代入上式并整理得： 解得（舍去负值），得 设AB边上的高为CD，如图所示 则 又AB3，CD 所以AB边上的高等于 评述：本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力。 例6. 已知为锐角，且 （I）求的值 （II）求的值 分析：观察已知条件，两边同除就可得到用tan表示的式子，求出tan值即可。 解：（I）为锐角，cos0 又由 得，解得或 又为锐角，tan2 （II）为锐角，且tan2 故： 评述：本题重点考查同角三角函数关系式与两角差的三角函数公

8、式的应用。本题有两个思路，一个是由，结合，解出sin、cos，进而求得tan；另一个是将已知条件中sin、cos转化为tan求值。思路一体现的是方程，方程组的思想，有同学用这种方法求解此题非常烦琐，最终导致半途而废。思路二体现的是转化问题的思想，就解答高考试题而言，思路二更有启发性，上述的解法就是运用的转化的思想，显然非常简洁，请同学们认真反思这种解法。【综合测试】一. 选择题 1. 已知，则等于（ ） A. B. 7C. D. 7 2. 在ABC中，若cosAcosBcosC，则下列结论一定成立的是（ ） A. sinBsinC为常数 B. tanBtanC为常数 C. cosBcosC为常

9、数 D. cotBcotC为常数 3. 已知，且x、y为锐角，则tan(xy)的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在ABC中，若A为钝角，则tanCtanB的值为（ ） A. 大于0且小于1B. 等于1C. 大于1D. 不能确定 5. 若等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则sin的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在ABC中，已知cosAcosBsinAsinB，则ABC是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 等腰三角形 8. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 二. 填空题 9. 的值为_。 10. 计算_。 11. 设均为

10、锐角，则_。 12. 化简_三. 解答题 13. 已知 求的值 14. 求证： 15. 已知 求的值综合测试答案一. 选择题 1. A 解： 故：，故选A。 2. B 解： ABC，A（BC） cosBcosCcosAcos(BC)sinBsinCcosBcosC 2cosBcosCsinBsinC 故tanBtanC2为常数，选B。 3. B 解法一：由 22得 x、y为锐角， 故：，故选B。 解法二：x、y为锐角， ， 可得出 观察选项，只有B满足条件，故选B。 4. A 解：A为钝角，BC为锐角，B、C均为锐角 即 ，故选A。 5. C 解： ，故选C。 6. A 解法一：， 解法二：

11、直接求出，故选A。 7. C 解： ，故选C。 8. D 解： 故选D。二. 填空题 9. 解：诱导公式变角，再逆用两角和差的正余弦切入 10. 11. 解： 12. 解法一：原式 解法二：原式 解题反思：注意公式的结构，选择恰当的方法求解，可以简化计算。三. 解答题 13. 解： 又 14. 分析：由于三角函数是以角为自变量的函数，所以应分析角之间的关系，式子中有几个角，应考虑这几个角的关系，通过观察，我们以为中心进行考虑。 说明：左边 原式成立 15. 分析：先求出tan的值，再求出tan(2)的值，然后根据角的范围及值的符号确定角2的值 解： 又 又 而 而 说明：由已知条件求角一般有三个步骤：一是求出角的一个恰当的三角函数值；二是由已知条件确定角的范围；三是由前面两步