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1、高中数学教案精选 数学归纳法全套教学目标：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。 初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。培养学生对于数学内在美的感悟能力。教学重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)。教学难点：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。教学过程：一、 引入：问题1：这个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？二、 归纳法：教
2、师引导学生明了以上两个问题的异同点。 由此，得出归纳法的概念：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。同时指明了完全归纳法与不完全归纳法的区别。 投影通过数学家费马运用不完全归纳得出错误结论的事例来说明不完全归纳法的缺憾之处 仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论。 提问如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 引导学生得出：只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。三、 数学归纳法：提问若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全是橙色球呢？在学生讨论未果的基础上，教师给出方法供学生参考：证明第一次拿出的乒乓球是橙色的；构造一个命题并证明，此
3、命题的题设是：“若某一次拿出的球是橙色的”，结论是：“下次拿出的球也是橙色的”。以上两步都被证明，则盒子中的乒乓球全是橙色的。（该命题并不是孤立地研究“某一次”、“下一次”取的是橙球，而且由“某次取出的是橙球”来得到“下一次取出的也是橙球”的逻辑必然性，即一种递推关系）教师引导学生讨论：以上两个步骤如果都得到证明，是否能说明全部的乒乓球都是橙色的？由此，得出数学归纳法的基本概念：它是自然数相关问题的一种证明方法。提问在现实生活中有没有相似的“递推”思想的实例呢？ 提问这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢？投影给出问题2的数学归纳法的证明，将每一步骤标号，引导学生对比上一问题与此问题类似之处，
4、进而得出数学归纳法的证题思路和步骤。教师再通过投影明确数学归纳法的“奠基步骤”和“递推步骤”这“两个步骤”以及“一个结论”。四、 例题讲解：例1、数列an，其通项公式为an=2n-1，请猜测该数列的前n项和公式Sn，并用数学归纳法证明该结论。 教师板演学生的解题步骤。师生共同归结：1、 数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。 2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换。第3点可结合学生完成情况来阐明。五、 反馈练习：用数学归纳法证明：A组：1、1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN)； 2、首项为a1，
5、公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1qn-1 (nN)B组：1、1+2+22+2n-1=2n-1 (nN)； 2、S=1/(13)+1/(35)+1/(57)+1/(2n-1)(2n+1) (nN)六、 知识小结：投影：不完全归纳法完全归纳法递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉数学归纳法穷举法七、 作业：P121 1、预习课本P115-117教学章节：数学归纳法应用教学目标：使学生能掌握用“归纳法”去猜想有关命题的条件、结论。教学重点：如何用“归纳法”去推导、猜想。教学难点：。教学过程： (一)创设问题情境问题：“管中窥豹，略见一斑”的含义是什么？（比喻可以从观察到事物的一部分
6、情况推测到事物的全体情况）例：看一下广交会上的出口商品，就可以了解到我国目前的经济发展情况。问题：用了解同学们的作业情况，可以用什么方法？（二） 师生共同探索上述推理所采用的方法实际上就是归纳法，它是由一系列有限的特殊事例去推导出一般的结论。归纳法可以帮助我们从特殊事例中去发现一般规律。例、 已知数列： 计算得：S1=,，由此可猜测n=_例：观察下列式子：, +, +,则可归纳出_教师引导学生观察上述两例的变化规律，可得：例的n=，例的+ (三)学生讨论归纳下列各题由学生进行分组讨论，然后教师进行提问、 对一切自然数n，猜出使成立的最小自然数t。、 平面上有几条直线，其中无两条平行，无三条共点
7、，问： 这n条直线共有几个交点f(n)？（ 这n条直线互相分割成多少条线段（或射线）？(条) 平面被这n条直线分割成多少块区域？（）、 已知数列an中，a1=, an+1=。求a2, a3, a4，猜测通项公式an 、 设数列an的各项均为正整数，a1=1，设Sn=a1+a2+an，若对自然数n总有Sn+1+Sn=( Sn+1Sn) ，试推测用n表示n的关系式（S 小结：上述各题均属结论探索法，即由条件去归纳探索、满足条件的结论。下面题目，则属条件探索法，即由成立的结论去探索命题的条件。、（年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式1对一切自然数n都成立？并证明你的结论（a=3,b=1
8、1,c=10）（四）归纳小结归纳法是一种常用的推理方法，它是由一系列有限的事例去推理一般的结论。虽然它得到的结论不一定正确，但却是我们解决问题和发现规律的桥梁。用归纳法得出的结论是否正确，还须用数学归纳法加以证明。（五）作业布置、 已知数列an满足Sn=2nan (nN)，求出此数列的前四项，作出猜想求出an，再证明之。、 是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立。并证明你的结论。教学章节：充要条件教学目标：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件3个概念，并能在判断、论证中正确运用.2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础
9、.教学重点：正确理解3个概念，并在分析中正确判断。教学难点：教学过程：师：上堂课后留了一道题：给出原命题“若A，则B”(板书)，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.请同学们回答.生：(口答，师板书)原命题：若A，则B.逆命题：若B，则A.否命题：若非A，则非B.逆否命题：若非B，则非A.师：请同学们构造4个原命题，写在投影片上.要求是：(1)原命题成立，逆命题不成立；(2)原命题不成立，逆命题成立；(3)原命题成立，逆命题成立；(4)原命题不成立，逆命题也不成立.(师巡视后，选4位同学的投影片待用.以下讨论将随机应变，下面写的只是一种设想.)师：(取第一位同学的投影片定格，并板书.)原命题：如果
10、xy，那么x2=y2.师：这个原命题成立吗?生：(口答)成立.师：这个原命题的逆命题是什么?是否成立?生：(口答)这个原命题的逆命题是：如果x2=y2，那么x=y.不成立.师：请举一个逆命题不成立的例子.生：(口答)例：取x=1，y=-1.满足x2=y2，但xy.师：如果我们把原命题的条件“x=y”记作A，把原命题的结论“x2=y2”记作B.本例说明：“若A，则B.”成立，记作AB.则称A是B的充分条件，B是A的必要条件.由于逆命题不成立，即AB，则称A是B的充分但不必要条件.这个例子的原命题成立，但它的逆命题不成立.即“x=y”是“x2=y2”的充分但不必要条件.师：(取第二位同学的投影片定
11、格，并板书.)原命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等.师：这个原命题成立吗?生：(口答)不成立.师：请举一个例子.生：(板书)因为AABC，所以SABC=SABC.但这两个三角形不全等.师：请叙述这个原命题的逆命题，并说明是否成立.生：(口答)如果两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等.这个逆命题成立.师：如果原命题不成立，而逆命题成立.我们说原命题的条件对结论的成立是必要但不充分的.也就是说：“两个三角形面积相等”是“这两个三角形全等”的必要但不充分条件.把本例原命题的条件记作A，结论记作B.由于原命题不成立，而逆命题成立.即：AB，则称A是B的必要但不充分条件.师：(取第三
12、位同学投影片定格，板书.)原命题：x2+y2=0，则x=0且y=0.这个命题成立吗?生：(口答)成立.师：这个原命题的逆命题怎样叙述?是否成立?生：(口答)“如果x=0且y=0，则x2+y2=0”.这个逆命题是成立的.师：如果原命题成立，逆命题也成立.我们说原命题的条件是其结论的既充分又必要的.本例中，把“x2+y2=0”记作A，把“x=0且y=0”记作B.由于AB，且BA.记作AB.则称A是B成立的充分且必要条件，简称A是B的充要条件.师：(取第四位同学的投影片定格，并板书.)原命题：如ab，则ab.这个原命题成立吗?并说明理由.生：(口答)不成立.例：a=-1,b=-2.满足ab，但不满足
13、ab.师：请说出这个原命题的逆命题，并说明是否成立.生：(口答)“如果ab，则ab”.不成立.例：a=-3,b=1.满足ab，但不满足ab.师：如果把原命题的条件记作A，原命题的结论记作B，本例是AB，则称A是B成立的既不充分又不必要条件.现在我们总结一下，本节所讲叙的概念(板书.)1.“若A，则B”是真命题，记“AB”.称A是B的充分条件，B是A的必要条件.2.如果AB，且BA，记AB.3.AB，称A是B的充要条件；AB，称A是B的充分但不必要条件；AB，称A是B的必要但不充分条件；AB，称A是B的既不充分又不必要条件.以上前两条给出了充分条件、必要条件、充要条件这3个概念；第3条给出了判断
14、A是B的什么条件的依据.现在请同学们回答：A B，B是A的什么条件?生：(讨论后回答)B是A的必要但不充分条件.师：请同学们阅读课本第50页，有关“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义.(投影或计算机操作显示)在直线坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形).师：我们把“曲线的方程”和“方程的曲线”看成条件A，把关系1、2看成B.它们都是A的必要条件.两者都满足了，A才具备充分性，即A是B的充要条件.如果两者缺一，譬如仅把关系1看成B，那么A是B的充分但不必要条件.为此，在定义“曲线的方程”和“方程的曲线”时，关系1、2缺一不可.实际上这也是一个充要条件问题，是我们数学中常见的等价转换问题.现在请看以下例题：例1 两条不重合的直线l1、l2(共同前提).l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1l2的什么条件?(学生讨论回答)生甲：两条不重合的直线l1、l2的斜率相等是l1l2的充要条件.师：这个结论对吗?生乙：不对.因
