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1、高二数学 2017 春季 第 1页 第 12 讲选修 2 2 模块复习 类型一类型一导数及其应用导数及其应用 考点说明 导数的计算 导数在函数中的应用 生活中的优化问题是考查重点 例 1 设1ln 2 xxf 则 f 2 A 5 4 B 5 2 C 5 1 D 5 3 答案 B 解析 1ln 2 xxf 令 u x 1 2 x 则 f u lnu f u u 1 高二数学 2017 春季 第 2页 u x 2 1 1 2 2 x x 1 2 x x 由复合函数的导数公式得 f x 1 1 2 x 1 2 x x 1 2 x x f 2 5 2 故选 B 例 2 已知曲线 2 x 3 4 yln
2、x 的一条切线的斜率为 2 1 则切点的横坐标为 A 3B 2C 1D 2 1 答案 A 解析 设切点的横坐标为 x0 y0 曲线 2 x 3 4 ylnx 的一条切线的斜率为 2 1 y 2 0 x 0 3 x 2 1 解得 x0 3 或 x0 2 舍去 即切点的横坐标为 3 故选 A 例 3 如果函数 y f x 的图象如图 那么导函数 y f x 的图象可能是 A B C D 答案 A 解析 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正 负 正 负 故选 A 例 4 直线 y 4x 与曲线 y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A 22B 42C 2D 4 高二数学 2017
3、春季 第 3页 答案 D 解析 先根据题意画出图形 得到积分上限为 2 积分下限为 0 曲线 y x3与直线 y 4x 在第一象限所围成的图形的面积是 2 0 4x x3 dx 而 2 0 4x x3 dx 2x2 1 4 x4 2 0 8 4 4 曲边梯形的面积是 4 故选 D 例 5 设函数 f x 在 R 上的导函数为 f x 且 2f x xf x x2 下面的不等式在 R 内恒成立的是 A f x 0B f x 0C f x xD f x x 答案 A 解析 2f x xf x x2 令 x 0 则 f x 0 故可排除 B D 如果 f x x2 0 1 时 已知条件 2f x x
4、f x x2成立 但 f x x 未必成立 所以 C 也是错的 选 A 例 6 已知函数 f x x2 x lnx 1 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求函数 f x 的单调区间 答案 1 f x 2x 1 x 1 故 f 1 0 f 1 0 故切线方程是 y 0 2 由 1 f x 的定义域是 0 f x x xx 1 12 令 f x 0 解得 x 1 令 f x 0 解得 0 x 1 故 f x 在 0 1 递减 在 1 递增 解析 1 求出函数的导数 计算 f 0 f 0 求出切线方程即可 2 求出函数的导数 解关于导函数的不等式 求出函数的单调区间即可 高二数
5、学 2017 春季 第 4页 例 7 已知函数 f x 2x3 ax2 bx 3 在 x 1 和 x 2 处取得极值 1 求 f x 的表达式和极值 2 若 f x 在区间 m m 4 上是单调函数 试求 m 的取值范围 答案 1 f x 6x2 2ax b 0 2 0 1 f f 即 0424 026 ba ba 解得 12 3 b a f x 2x3 3x2 12x 3 f x 6x2 6x 12 f x 0 解得 x 1 或 x 2 由 f x 0 解得 1 x 2 故函数 f x 在 1 和 2 递增 函数在 1 2 递减 所以当 x 1 时 有极大值 10 当 x 2 时 有极小值
6、17 2 由 1 知 若 f x 在区间 m m 4 上是单调函数 需 m 4 1 或 24 1 m m 或 m 2 所以 m 5 或 m 2 解析 1 求出导函数 利用导数在极值点处的值为 0 列出方程组 求出 a b 代入 f x 和 f x 令 f x 0 求出 x 的范围即为递增区间 令 f x 0 求出 x 的范围 为递减区间 并利用极值的定义求出极值 2 根据题意 令 m m 4 在 1 内或在 2 内或在 1 2 内 列出 不等式组 求出 m 的范围 例 8 已知函数 f x ln x a x2 x 在 x 0 处取得极值 1 求实数 a 的值 2 若关于 x 的方程 f x 2
7、 5 x b 在区间 0 2 上有两个不同的实根 求实数 b 的取值 范围 答案 1 f x ax 1 2x 1 f 0 0 a 1 2 f x ln x 1 x2 x 所以问题转化为 b ln x 1 x2 2 3 x 在 0 2 上有两个 不同的解 从而可研究函数 g x ln x 1 x2 2 3 x 在 0 2 上最值和极值情况 g x 1 2 1 54 x xx g x 的增区间为 0 1 减区间为 1 2 gmax x g 1 2 1 ln2 gmin x g 0 0 又 g 2 1 ln3 高二数学 2017 春季 第 5页 当 b 1 ln3 2 1 ln2 时 方程有两个不同
8、解 解析 1 令 f x 0 即可求得 a 值 2 f x 2 5 x b 在区间 0 2 上有两个不同的实根 即 b ln x 1 x2 2 3 x 在区间 0 2 上有两个不同的实根 问题可转化为研究函数 g x ln x 1 x2 2 3 x 在 0 2 上最值和极值情况 利用导数可以求得 再借助图象可得 b 的范围 类型二类型二推理与证明推理与证明 考点说明 合情推理与演绎推理 直接证明与间接证明是难点 数学归纳法是重点 例 9 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则 a10 b10 A 28B 76C 123D 199 答案 C
9、 解析 观察可得各式的值构成数列 1 3 4 7 11 其规律为从第三项起 每项等 于其前相邻两项的和 所求值为数列中的第十项 继续写出此数列为 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 第十项为 123 即 a10 b10 123 故选 C 例 10 证明不等式211 aaaa a 2 所用的最适合的方法是 A 综合法B 分析法C 间接证法D 合情推理法 答案 B 解 析 欲 比 较aa 1 21 aa的 大 小 只 须 比 较aa 1 21 aa 2 1aa 2 2a 1 22 1aa aa 1 2 2a 1 aa 1 只须比较2 1aa aa 1 的大小 以上证明不等式所用的
10、最适合的方法是分析法 故选 B 高二数学 2017 春季 第 6页 例 11 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 从 k 到 k 1 左边 需要增乘的代数式为 A 2k 1B 2 2k 1 C 1 12 k k D 1 32 k k 答案 B 解析 当 n k 时 左端 k 1 k 2 k 3 2k 当 n k 1 时 左端 k 2 k 3 2k 2k 1 2k 2 故当 n 从 k 到 k 1 左端需增乘的代数式为 1 22 12 k kk 2 2k 1 故选 B 例 12 数列 an 满足 Sn 2n an n N 1 计算 a1 a2 a3 a4 并由此猜想
11、通项公式 an 2 用数学归纳法证明 中的猜想 答案 1 当 n 1 时 a1 s1 2 a1 所以 a1 1 当 n 2 时 a1 a2 s2 2 2 a2 所以 2 3 2 a 同理 4 7 3 a 8 15 4 a 由此猜想 2 12 1 Nna n n n 2 证明 当 n 1 时 左边 a1 1 右边 1 结论成立 假设 n k k 1 且 k N 时 结论成立 即 1 2 12 k k k a 那么 n k 1 时 ak 1 sk 1 sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 所以 2ak 1 2 ak 所以 k k k k k k a a 2 12 2 2 12
12、 2 2 2 1 1 1 这表明 n k 1 时 结论成立 由 知对一切 n N 猜想 1 2 12 n n n a成立 解析 1 通过 n 1 2 3 4 直接计算 a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式 2 12 1 Nna n n n 2 直接利用数学归纳法证明 检验 n 取第一个值时 等式成立 假设 1 2 12 k k k a 证明 高二数学 2017 春季 第 7页 类型三类型三 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 考点说明 复数代数形式的四则运算是考查重点 例 13 i 为虚数单位 i607 A iB iC 1D 1 答案 A 解析 i607 i606 i i2 3
13、03 i 1 303 i i 故选 A 例 14 若复数 z i 1 2 其中 i 为虚数单位 则z A 1 iB 1 iC 1 iD 1 i 答案 B 解析 z i 1 2 1 1 2 1 ii i 2 2 1 i 1 i z 1 i 故选 B 例 15 设 1 2i a i 的实部与虚部相等 其中 a 为实数 则 a A 3B 2C 2D 3 答案 A 解析 1 2i a i a 2 2a 1 i 的实部与虚部相等 可得 a 2 2a 1 解得 a 3 故选 A 例 16 设 z i 1 1 i 则 z A 2 1 B 2 2 C 2 3 D 2 答案 B 解析 z i 1 1 i 1 1
14、 1 ii i i i 2 1 2 1 故 z 2 2 4 1 4 1 故选 B 高二数学 2017 春季 第 8页 例 17 已知 i ia2 b i a b R 其中 i 为虚数单位 则 a b A 1B 1C 2D 3 答案 B 解析 由ib i ia 2 得 a 2i bi 1 所以由复数相等的意义知 a 1 b 2 所以 a b 1 另解由ib i ia 2 得 ai 2 b i a b R 则 a 1 b 2 a b 1 故选 B 例 18 复数 z m2 5m 6 m2 2m 15 i m R 求满足下列条件的 m 的值 1 z 是纯虚数 2 在复平面内对应的点位于第三象限 答案 1 若 z 是纯虚数 则 0152 065 2 2 mm mm 解得 m 2 2 若 z 在复平面内对应的点位于第三象限 则 0152 065 2 2 mm mm 解得 3 m 2 解析 1 利用纯虚数的定义和性质求解 2 利用 z 在复平面内对应的点位于第三象限的性质求解 1 导数的计算 导数在函数中的应用 生活中的优化问题是考查重点 2 合情推理与演绎推理 直接证明与间接证明是难点 数学归纳法是重点 3 复数代数形式的四则运算是考查重点
