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1、第6讲 抛物线及其方程1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1.抛物线定义的运用与转化是重点2.利用几何性质求最值及弦长问题是难点 抛物线及其定义一、抛物线的定义1、平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2、其数学表达式：|MF|d(其中d为点M到准线的距离)例1（2016美兰区校级模拟）过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是（）Ay2=12x By2=12x Cx2=12y Dx2=12y【答案】D【解析
2、】由已知条件：过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F（0，3）为焦点，直线y=3为准线的抛物线，故其方程为x2=12y练习1.（2016秋龙凤区校级期中）若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则P点的轨迹方程是（）Ay2=16x By2=32x Cy2=16x Dy2=32x【答案】C【解析】点P到点（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=4，可得点P到直线x=4的距离等于它到点（4，0）的距离根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=4为准线的抛物线设抛物线方
3、程为y2=2px，可得=4，得2p=16，抛物线的标准方程为 y2=16x，即为P点的轨迹方程练习2.（2014秋三元区校级月考）设动点C到点M（0，3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动点C的轨迹是（）A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆【答案】A【解析】点P到直线y=3的距离与它到点（0，3）的距离相等，点P的轨迹是以M为焦点、直线l：y=3为准线的抛物线.掌握抛物线的定义是解题的关键例2.（2014仙游县校级模拟）已知点F为抛物线y2=8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A6 B C D4+2【答案】C【解析】|
4、AF|=4，由抛物线的定义得，A到准线的距离为4，即A点的横坐标为2，又点A在抛物线上，从而点A的坐标A（2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=练习1.（2013宝山区校级模拟）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A（0，0） B C D（2，2）【答案】D【解析】由题意得 F（ ，0），准线方程为 x=，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为
5、|AP|=3（）=把 y=2代入抛物线y2=2x 得 x=2，故点M的坐标是（2，2），练习2.（2008秋南岸区校级期末）已知定点A（7，12）和抛物线y2=8x，动点P在抛物线上运动，M为P在抛物线准线上的射影，则|PM|+|PA|的最小值为（）A7 B9 C12 D13【答案】D【解析】抛物线y2=8x的准线方程l：x=2，M为P在抛物线准线上的射影，PMl，点A在抛物线外当A，P，F三点共线时，|PM|+|PA|=|PF|+|PA|取最小值，其最小值为A（7，12）到F（2，0）的距离d，由题设知d=13考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求
6、值.抛物线的方程一抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y2=2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）（2）x2=2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y2=2px（p0），焦点在x轴上x2=2py（p0），焦点在y轴上图形 顶点（0，0）（0，0）对称轴 x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上 焦点 （，0）（0，） 焦距无无离心率e=1 e=1准线x=y=例1.（2017春黄山期末）抛物线y=x2的准线方程是（）Ax= By= Cy=2 Dy=2【答案
7、】C【解析】整理抛物线方程得x2=8y，p=4，抛物线方程开口向下，准线方程是y=2练习1.（2017春咸阳期末）已知抛物线y2=x，则它的准线方程为（）Ay=2 By=2 Cx= Dx=【答案】C【解析】抛物线y2=x，它的准线方程为x=练习2.（2017春资阳期末）抛物线y2=2x的焦点坐标为（）A（0，） B（0，1） C（，0） D（1，0）【答案】故选：C【解析】抛物线y2=2x的焦点坐标为（，0）考查了抛物线的标准方程及简单性质.例2.（2016秋台江区校级期末）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（）Ax2=3y By2=6x Cx2=12y D
8、x2=6y【答案】C【解析】设抛物线的方程为x2=2p或x2=2p，依题意知=3，p=6，抛物线的方程为x2=12y，练习1.（2015秋荔城区校级期末）在抛物线y2=2px（p0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）Ax=1 Bx= Cx=1 Dx=【答案】故选：C【解析】由题意可得抛物线y2=2px（p0）开口向右，焦点坐标（，0），准线方程x=，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即4（）=5，解之可得p=2 故抛物线的准线方程为x=1练习2.（2017西安一模）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A 2 B2
9、C4 D4【答案】D【解析】双曲线的右焦点为（2，0），即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），=2，p=4 考查抛物线的定义，关键是明确抛物线的方程的几何意义.抛物线综合 一、抛物线的简单性质：标准方程y2=2pxy2= -2pxx2=2pyx2= -2py顶点（0，0）对称轴 x轴 y轴焦点 （，0）（-，0） （0，）（0，-）焦距pppp离心率e=1准线x=x=y=y=焦半径例1.（2015渝中区校级一模）双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为，双曲线C的渐近线与抛物线y2=2px（p0）交于A，B两点，OAB（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（）Ay2=8x By2=4x
10、Cy2=2x D【答案】故选：C【解析】双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为，双曲线C为等轴双曲线，即a=b；双曲线的渐近线方程为y=x；又双曲线的渐近线与抛物线y2=2px交于A，B两点；则设点A（x0，x0）（x00），又OAB的面积为x02x0=4，x0=2，将（2，2）代入抛物线方程y2=2px 解得p=1，抛物线的方程为y2=2x练习1.（2017邵阳二模）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A B1 C2 D3【答案】故选B【解析】由题意，|M
11、F|=x0+圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，|MA|=2（x0），=2，|MF|=|MA|，x0=p，2p2=8，p=2，|AF|=1练习2.（2017平遥县模拟）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A B C3 D6【答案】B【解析】如下图所示，抛物线C：B的焦点为（2，0），准线为x=2，准线与x轴的交点为N，P过点Q作准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义知：|MQ|=|QF|，又因为，所以，3|MQ|=|PF|，所以，可得：|MQ|=4=所以，将点的坐标数据与抛物线几何性质结合应用.例2.
12、（2014新课标）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A B6 C12 D7【答案】C【解析】由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30的直线方程为y=tan30（x）=（x）代入抛物线方程，消去y，得16x2168x+9=0设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+v=+=12.练习1.（2017武邑县校级二模）过抛物线y2=2px（p0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）Ay2=4x By2=2x Cy2=8x Dy2=6x【答案】：C【解析】 解：设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1+x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，10=6+p，可得p=4抛物线方程为y2=8x练习2.（2014新课标）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）A B C D
