《教培机构高中数学讲义][衔接课 第4讲 三角形与四边形]讲义教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][衔接课 第4讲 三角形与四边形]讲义教师版.pdf（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学 2017 秋季 第 1页 第 4 讲三角形与四边形 1 衔接初中知识 深层次理解三角形和四边形的知识点 2 分班考试中 能够快速应对三角形和四边形的难题 3 学会迭代的数学思想 1 梅涅劳斯定理是相似的综合运用 是高中几何的铺垫性知识 2 塞瓦定理是梅尼劳斯定理的进一步应用 3 三角形的五心是高中解析几何的铺垫 高一数学 2017 秋季 第 2页 梅涅劳斯定理 一 梅涅劳斯定理 1 梅涅劳斯定理 如果一条直线与ABC 的三边AB BC CA或其延长线交于F D E点 那么 1 AFBD CE FBDCEA 这条直线叫ABC 的梅氏线 ABC 叫梅氏三角形 证明 如图 1 1 若一直线
2、与ABC 的三边AB BC CA或其延长线交于F D E 点 求证 1 AFBD CE FBDCEA 图1 1 F E C D B A 图1 2 G F E C D B A 高一数学 2017 秋季 第 3页 图1 3 G F E C D B A 证法一 如图 1 2 过C作CG DF DBFB DCFG ECFG AEAF 1 AFBD CEAFFBFG FBDCEAFBFGAF 证法二 如图 1 3 过A作 AGBD交DF的延长线于G AFAG FBBD BDBD DCDC CEDC EAAG 三式相乘即得 1 AFBD CEAGBDDC FBDCEABD DCAG 2 梅涅劳斯定理的逆定
3、理 若F D E分别是ABC 的三边AB BC CA或其延长线的三点 如果 1 AFBD CE FBDCEA 则F D E三点共线 例 1 如图 直线 12 ll 2 3AF FB 2 1BC CD 则 AE EC是 A 5 2B 4 1C 2 1D 3 2 图1 8 l 2 l 1 G F E D C B A 答案 C 解析 DG截ABC 的三边AB AC BC或其延长线于F E D三点 1 AFBD EC FB CDAE 2 3 AF FB 2 1 BC CD 高一数学 2017 秋季 第 4页 3 1 BD CD 23 1 31 EC AE 1 2 EC AE 即 2 1 AE EC 若
4、RtABC 中 CK是斜边上的高 CE是ACK的平分线 E点在AK上 D是AC 的中点 F是DE与CK的交点 证明 BFCE 答案 因为在 EBC 中 作 B 的平分线 BH 则 EBC ACK HBC ACE HBC HCB ACK HCB 90 即 BH CE 所以 EBC 为等腰三角形 作 BC 上的高 EP 则 CK EP 对于 ACK 和三点 D E F 根据梅涅劳斯定理有 CD DA AE EK KF FC 1 于是KF FC EK AE CK AC EP AC BP BC BK BE 即 KF FC BK BE 根据分比定理有 KF KC BK KE 所以 FKB CKE 所以
5、BF CE 解析 梅涅劳斯定理的应用 练习 2 如图 ABC 中 5AB 8BC BDBE 2AFFC BF交DE于P 求 DP PE F P E D C B A 图1 10 1 答案 过A作AG DE交BC于G 交BF于Q 如图 O P G F E D C B A 图1 10 2 可得 5ABBG 且 DPAQ PEQG 直线BF是ACG 的梅氏线 高一数学 2017 秋季 第 5页 5 1 1 8 2 AQ GB CFAQ QG BCFAQG 16 5 DPAQ PEQG 解析 直线BF是ACG 的梅氏线 例 2 已知ABC 中 AD为中线 过C点任作一直线交AB于F 交AD于E 如 图
6、求证 2 AE EDAF FB 图1 7 F E C D B A 答案 直线 FEC 是ABD 的梅氏线 1 AEDC BF EDBCFA 而 1 2 DC BC 1 1 2 AEBF EDFA 即 2AEAF EDBF 解析 注意观察梅氏线 如图 ABC 中 D为AC中点 BEEFFC 求证 5 3 2BM MN ND 高一数学 2017 秋季 第 6页 N M F E C D B A 图1 9 答案 直线AE是BCD 的梅氏线 1 BMDA CE MDACEB 1 2 1 2 1 BM MD 1 1 BM MD 直线AF是BCD 的梅氏线 1 BNDA CF NDACFB 1 1 1 2
7、2 BN ND 4 1 BN ND 5 3 2BM MN ND 解析 直线AF是 BCD 的梅氏线 练习 2 如图 平行四边形ABCD的对角线相交于点O 在AB的延长线上任取一点E 连接 OE 交BC于点F 若ABa ADc BEb 求BF的长 图1 11 O F E D C B A 答案 OE截ABC 的三边AB AC BC或其延长线于E O F三点 1 COAEBF AO BEFC 在平行四边形ABCD中 OAOC 1 OA OC AEABBEab AEab BEb BFb FCab 即 FCab BFb 2FCBFab BFb 即 2BCab BFb BCAD 2cab BFb 2 bc
8、 BF ab 高一数学 2017 秋季 第 7页 解析 梅涅劳斯定理的逆定理 梅涅劳斯定理的逆定理 若F D E分别是ABC 的三边AB BC CA或其延长线的三点 如果 1 AFBD CE FBDCEA 则F D E三点共线 塞瓦定理 二 塞瓦定理 1 塞瓦定理 如果ABC 的三个顶点与一点P的连线AP BP CP交对边或其延长线于D E F 如图 1 4 那么1 BD CEAF DCEAFB 通常称点P为ABC 的塞瓦点 P 图1 4 F E C D B A 证明 直线FPC EPB分别是ABD ACD 的梅氏线 1 BCDPAF CDPAFB 1 DB CEAP BCEA PD 两式相乘
9、即可得 1 BD CEAF DCEAFB 2 塞瓦定理的逆定理 如果点D E F分别在ABC 的边BC CA AB上或其延长线上 并且 1 BD CEAF DCEAFB 那么AD BE CF相交于一点 或平行 高一数学 2017 秋季 第 8页 F P 图1 5 F E C D B A A B D C E F 图1 6 证明 1 若AD与BE相交于一点P时 如图 1 5 作直线CP交AB于 F 由塞瓦定理得 F 1 BD CEA DCEA F B 又已知1 BD CEAF DCEAFB AFAF FBF B ABAB FBF B FB F B F与F重合 CF与CF重合 AD BE CF相交于
10、一点 2 若AD与BE所在直线不相交 则AD BE 如图 1 6 BDEA DCAC 又已知1 BD CEAF DCEAFB 1 EA CEAF ACEAFB 即 CEFB ACAF BEFC ADBEFC 例 1 如图 E F分别为ABC 的AC AB边上的点 且3AEEC 3BFFA BE CF交于P AP的延长线交BC于D 求 AP PD的值 图1 12 P F E D C B A 答案 P为ABC 的塞瓦点 11 1 33 AFBD CEBD FBDCEADC 9 1 BD DC 9 10 BD BC EPB为ACD 的梅氏线 高一数学 2017 秋季 第 9页 91 1 10 3 A
11、P DB CEAP PD BCEAPD 10 3 AP PD 解析 P为 ABC 的塞瓦点 在梯形ABCD中 AB CD AC BD交于E AD BC的延长线交于H 过E作 FG AB交AD于F 交BC于G 求证 AG BF EH三线共点 Q F 图1 13 H G E D C B A 答案 设直线HE交AB于Q 由已知可得 HFHE BGEQ FAEQ GHHE 1 HFBG FA GH 由E为HAB 的塞瓦点可得 1 HDAQBC DA QB CH 同理可得 1 HDBC DA CH 1 AQ QB 1 HFAQBG FAQB GH AG BF EH三线共点 解析 塞瓦定理的应用 塞瓦定理
12、 如果ABC 的三个顶点与一点P的连线AP BP CP交对边或其延长线于D E F 如图 1 4 那么1 BD CEAF DCEAFB 通常称点P为ABC 的塞瓦点 高一数学 2017 秋季 第 10页 例 2 设AD是ABC 的高 且D在BC边上 若P是AD上任一点 BP CP分别与AC AB交于E和F 证明 EDAFDA 答案 过 A 作 AD 的垂线 与 DE DF 的延长线分别交于 M N 欲证 EDA FDA 可 以转化为证明 AM AN 因为 AD BC 故 MN BC 可得 AME CDE ANF BDF 所以AM CD AE CE AN BD AF BF 于是 AM AE CD
13、 CE AN AF BD BF 因为 AD BE CF 共点与 P 根据塞 瓦定理可得 BD DC CE EA AF FB 1 所以AE CD CE AF BD BF 所以 AM AN 所以 EDA FDA 答案 塞瓦定理的逆定理 解析 已知 AD BE CF为ABC 的高 1 求证 直线AD BE CF三线共点 2 若上述一点叫P 当P点在线段AD内上下移动时 过P点的线段BE CF 也随之运动 求证 上述运动过程中FDA 与EDA 总相等 图1 14 1 P F E D C B A 答案 1 由ABE ACF 得 AEAB AFAC 同理 CDAC CEBC BFBC BDAB 三式相乘得
14、1 AE CDBF ECDB FH 高一数学 2017 秋季 第 11页 AD BE CF三高所在直线共点 2 如图 过A作MN BC交DF DE延长线于M N 图1 14 2 N M P F E D C B A AFAM CEDC FBBDEAAN P是ABC 的塞瓦点 1 AFBD CEAMBDDC FBDCEABDDCAN AMAN ADMN DMDN FDA EDA 解析 塞瓦定理的应用 塞瓦定理的逆定理 如果点D E F分别在ABC 的边BC CA AB上或其延长线上 并且 1 BD CEAF DCEAFB 那么AD BE CF相交于一点 或平行 三角形的五心 三角形中有许多重要的特
15、殊点 特别是三角形的 五心 在解题时有很多应用 在本 节中将分别给予介绍 三角形的 五心 指的是三角形的外心 内心 重心 垂心和旁 心 A BC O 高一数学 2017 秋季 第 12页 1 三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点 这点称为三角形的外心 外接圆圆心 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 都等于三角形的外接圆半径 锐角三角形的外心在三角形内 直角三角形的外心在斜边中点 钝角三角形的外心在三角形外 2 三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点 这点称为三角形的 内心 内切圆圆心 三角形的内心到三边的距离相等 都等于三角形内切圆 半径 内切圆半径r的计算 设三角形面积
16、为S 并记p 1 2 a b c 则 r S p 特别的 在直角三角形中 有r 1 2 a b c 3 三角形的重心 三角形的三条中线交于一点 这点称为三角 形的重心 上面的证明中 我们也得到了以下结论 三角形的重心到边的 中点与到相应顶点的距离之比为 1 2 4 三角形的垂心 三角形的三条高交于一点 这点称为三角形的垂心 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中 任何三个为顶点的三 角形的垂心就是第四个点 所以把这样的四个点称为一个 垂心组 5 三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点 称为三角形的旁心 旁切圆圆 心 每个三角形都有三个旁切圆 A B C D E F G A B C D E F Ia I K H E F D A B C M 高一数学 2017 秋季 第 13页 例 5 证明重心定理 答案 证法 1 如图 D E F为三边中点 设BE CF交于G 连 接EF 显然EF 1 2BC 由三角形相似可得 GB 2GE GC 2GF 又设AD BE交于G 同理可证G B 2G E G A 2G D 即G G 都是 BE上从
