《教培机构高中数学讲义][衔接课 第4讲 三角形与四边形]演练方阵教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][衔接课 第4讲 三角形与四边形]演练方阵教师版.pdf（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学 2017 秋季 第 1页 演练方阵 第 4 讲三角形与四边形 梅涅劳斯定理 类型一类型一 梅涅劳斯定理 考点说明 梅涅劳斯定理来源于相似 易 1 如图 在 ABC 中 DE BC EF AB 求证 ADE EFC 答案 证明 DE BC DE FC AED C 又 EF AB EF AD A FEC ADE EFC 解析 根据平行线的性质可知 AED C A FEC 根据相似三角形的判定定理可知 ADE EFC 中 2 如图 已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点 BF AE 于 F 试说明 ABF EAD 高一数学 2017 秋季 第 2页 答案 证明 矩形 ABCD 中
2、AB CD D 90 2 分 BAF AED 4 分 BF AE AFB 90 AFB D 5 分 ABF EAD 6 分 解析 考查相似三角形的判定定理 关键是找准对应 的角 难 3 已知过ABC 顶点C的直线 与边AB及中线AD分别交于点F和E 求证 FB AF ED AE2 E D A B C F 答案 答案 证明 证明 直线CEF截ABD 由梅涅劳斯定理 得 1 EA DE CD BC FB AF 又CDBC2 2 1 EA DE FB AF 则 FB AF ED AE2 解析 梅涅劳斯定理 高一数学 2017 秋季 第 3页 难 4 已知过ABC 重心G的直线分别交边AB AC及CB
3、延长线于点E F D 求证 1 FA CF EA BE D F G M A BC E 答案 证明 连接AG并延长交BC于M 则CMBM DEG截ABM 由梅氏定理得 1 DB MD GM AG EA BE 同理 1 DC MD GM AG FA CF MD DB AG GM EA BE MD DC AG GM FA CF 1 1 2 2 1 MD DCDB AG GM MDAG DCDBGM FA CF EA BE 即1 FA CF EA BE 解析 梅涅劳斯定理 难 5 如图 在 ABC 中 AB 10cm BC 20cm 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以 2cm s 的速度移
4、动 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm s 的速度移动 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 问经过几秒钟 PBQ 与 ABC 相似 答案 设经过 t 秒后 PBQ 与 ABC 相似 根据路程公式可得 AP 2t BQ 4t BP 10 2t 然后利 用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可 解 设经过秒后 t 秒后 PBQ 与 ABC 相似 则有 AP 2t BQ 4t BP 10 2t 当 PBQ ABC 时 有 BP AB BQ BC 即 10 2t 10 4t 20 解得 t 2 5 s 6 分 高一数学 2017 秋季 第 4页 当 QBP ABC 时
5、有 BQ AB BP BC 即 4t 10 10 2t 20 解得 t 1 所以 经过 2 5s 或 1s 时 PBQ 与 ABC 相似 10 分 解法二 设 ts 后 PBQ 与 ABC 相似 则有 AP 2t BQ 4t BP 10 2t 分两种情况 1 当 BP 与 AB 对应时 有 即 解得 t 2 5s 2 当 BP 与 BC 对应时 有 即 解得 t 1s 所以经过 1s 或 2 5s 时 以 P B Q 三点为顶点的三角形与 ABC 相似 解析 本题综合了路程问题和三角形的问题 所以学生平时学过的知识要会融合起来 类型二类型二 梅涅劳斯定理的应用与拓展梅涅劳斯定理的应用与拓展 考
6、点说明 梅涅劳斯定理的逆定理一般是竞赛题目 这里我们重点分析比例问题 中 1 如图 已知矩形 ABCD 的边长 AB 3cm BC 6cm 某一时刻 动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm s 的速度向 B 点匀速运动 同时 动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm s 的速度 向 A 点匀速运动 问 1 经过多少时间 AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 2 是否存在时刻 t 使以 A M N 为顶点的三角形与 ACD 相似 若存在 求 t 的值 若 不存在 请说明理由 答案 解 1 设经过 x 秒后 AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 则有 6 2x x 3 6
7、 即 x 2 3x 2 0 2 分 高一数学 2017 秋季 第 5页 解方程 得 x1 1 x2 2 3 分 经检验 可知 x1 1 x2 2 符合题意 所以经过 1 秒或 2 秒后 AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 4 分 2 假设经过 t 秒时 以 A M N 为顶点的三角形与 ACD 相似 由矩形 ABCD 可得 CDA MAN 90 因此有或 5 分 即 或 6 分 解 得 t 解 得 t 7 分 经检验 t 或 t 都符合题意 所以动点 M N 同时出发后 经过 秒或秒时 以 A M N 为顶点的三角形与 ACD 相似 8 分 解析 1 关于动点问题 可设时间为 x 根据速
8、度表示出所涉及到的线段的长度 找到 相等关系 列方程求解即可 如本题中利用 AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 作为相等 关系 2 先假设相似 利用相似中的比例线段列出方程 有解的且符合题意的 t 值即可说明存 在 反之则不存在 难 2 如图 在梯形 ABCD 中 若 AB DC AD BC 对角线 BD AC 把梯形分成了四个小三 角形 1 列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况 并求出选取到的两个三角 形是相似三角形的概率是多少 注意 全等看成相似的特例 2 请你任选一组相似三角形 并给出证明 答案 解 1 任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况 高一数学 2017 秋
9、季 第 6页 2 分 其中有两组 是相似的 选取到的二个三角形是相似三角形的概率是 P 4 分 证明 2 选择 证明 在 AOB 与 COD 中 AB CD CDB DBA DCA CAB AOB COD 8 分 选择 证明 四边形 ABCD 是等腰梯形 DAB CBA 在 DAB 与 CBA 中有 AD BC DAB CAB AB AB DAB CBA 6 分 ADO BCO 又 DOA COB DOA COB 8 分 解析 1 采用列举法 列举出所有可能出现的情况 再找出相似三角形即可求得 与 与 相似 2 利用相似三角形的判定定理即可证得 难 3 如图 ABC 中 D 为 AC 上一点
10、CD 2DA BAC 45 BDC 60 CE BD 于 E 连接 AE 1 写出图中所有相等的线段 并加以证明 2 图中有无相似三角形 若有 请写出一对 若没有 请说明理由 3 求 BEC 与 BEA 的面积之比 高一数学 2017 秋季 第 7页 答案 解 1 AD DE AE CE CE BD BDC 60 在 Rt CED 中 ECD 30 CD 2ED CD 2DA AD DE DAE DEA 30 ECD AE CE 2 图中有三角形相似 ADE AEC CAE CAE ADE AEC ADE AEC 3 作 AF BD 的延长线于 F 设 AD DE x 在 Rt CED 中 可
11、得 CE 故 AE ECD 30 在 Rt AEF 中 AE AED DAE 30 sin AEF AF AE sin AEF 高一数学 2017 秋季 第 8页 解析 1 根据直角三角形中 30 度角所对的直角边是斜边的一半 可知 CD 2ED 则可写出相等的 线段 2 两角对应相等的两个三角形相似则可判断 ADE AEC 3 要求 BEC 与 BEA 的面积之比 从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边 若求得高之比 可知面积之比 由此需作 BEA 的边 BE 边上的高即可求解 难 4 如图在 ABC 中 C 90 BC 8cm AC 6cm 点 Q 从 B 出发 沿 BC 方向以 2cm
12、 s 的速度移动 点 P 从 C 出发 沿 CA 方向以 1cm s 的速度移动 若 Q P 分别同时从 B C 出 发 试探究经过多少秒后 以点 C P Q 为顶点的三角形与 CBA 相似 答案 解 设经过 x 秒后 两三角形相似 则 CQ 8 2x cm CP xcm 1 分 C C 90 当或时 两三角形相似 3 分 1 当时 x 4 分 2 当时 x 5 分 所以 经过秒或秒后 两三角形相似 6 分 解析 此题要根据相似三角形的性质设出未知数 即经过 x 秒后 两三角形相似 然后根据速度公 高一数学 2017 秋季 第 9页 式求出他们移动的长度 再根据相似三角形的性质列出分式方程求解
13、 难 5 如图 在矩形 ABCD 中 AB 15cm BC 10cm 点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以 2cm s 的速度移动 点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm s 的速度移动 如果 P Q 同时出发 用 t 秒 表示移动的时间 那么当 t 为何值时 以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 答案 解 以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 所以 ABC PAQ 或 ABC QAP 当 ABC PAQ 时 所以 解得 t 6 当 ABC QAP 时 所以 解得 t 当 AQP BAC 时 即 所以 t 当 AQP BCA 时 即 所以 t 3
14、0 舍去 故当 t 6 或 t 时 以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 高一数学 2017 秋季 第 10页 解析 若以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 有四种情况 APQ BAC 此时得 AQ BC AP AB APQ BCA 此时得 AQ AB AP BC AQP BAC 此时得 AQ BA AP BC AQP BCA 此时得 AQ BC AP BA 可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出 t 的值 塞瓦定理 类型一类型一 塞瓦定理塞瓦定理 考点说明 塞瓦定理是相似的综合运用 难 1 设O是ABC 内任意一点 AO BO CO分别交对边于D E F
15、则则 1 FB AF EA CE DC BD 答案 证明 1 用梅涅劳斯定理 ADC 被直线BOE所截 有 1 EC AE OA DO BD CB ABD 被直线COF所截 有 1 FB AF OA DO CD BC 相除即得 证明 2 面积证法 AOC AOB CODADC BODABD COD BOD ADC ABD S S SS SS S S S S DC BD 同理 AOB BOC S S EA CE BOC AOC S S FB AF 相乘即 得 证明 3 物体重心法 在A B C处各放一重物 让其质量分别为 CBA mmm 使其 重心正好在O处 则D E F分别为BC CA AB的
16、重心 有 A B C A B C m m FB AF m m EA CE m m DC BD 相乘即得 证明 4 利用相似三角形 过B作 MNAC分别交AD CF与N M A B C D E F O A B C D E F O M N 高一数学 2017 秋季 第 11页 BDBN DCAC CEEO BMOB BNOB AEOE AFAC FBBM 将上面四个比例式相乘 得 BDCEBNAFBN EO OBAC DC BMAEFBAC OB OE BM 即1 FB AF EA CE DC BD 解析 定理的 4 种不同的证明方法 难 2 若ABC 的A 的外角平分线交边BC延长线于P B 的平分线交边AC于Q C 的平分线交边AB于R 则P Q R三点共线 答案 证明 由三角形内 外角平分线定理知 CA BA PC BP AB BC QA CQ CB CA RB AR 则1 AB BC CA BA CB CA QA CQ PC BP RB AR 故P Q R三点共线 解析 利用梅氏定理证明 3 点共线问题 类型二类型二 塞瓦定理的应用塞瓦定理的应用 考点说明 塞瓦定理的逆定理及其应用
