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1、一般形式的柯西不等式4-5一选择题（共6小题）1在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小依此规定，从a1，a2，an推出的a=（）ABCD2已知a，b，cR，且a+b+c=0，abc0，则+的值（）A小于0B大于0C可能是0D正负不能确定3已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A8，+）B（，42，+）C（，18，+）D2，+）4设变量x，y满足|x2|+|y2|1，则的最大值为（）ABCD5已知x
2、，y，zR+且x+y+z=1则x2+y2+z2的最小值是（）A1BCD26已知x，y，zR，且=1，则x+的最小值是（）A5B6C8D9二填空题（共21小题）7已知|x+2y+3z|4（x，y，zR）（）求x2+y2+z2的最小值；（）若|a+2|（x2+y2+z2）对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围8已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是 9设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为 10已知正实数x，y，z满足x+y+z=2，则的最大值是 11（不等式选做题） 已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1
3、，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为 12已知x，y，zR，且x2+y2+z2=1，则x+2y+3z的最大值是 13若正数a，b，c满足a+b+4c=1，则+的最大值为 14选修45：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值15已知空间的点P（x，y，z）（x，y，zR）到原点O（0，0，0）的距离为3，则式子x+2y+2z的最大值与最小值的差是 16选做题：若a，b，c0，且a2+ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为 17a，b，cR+，且满足a+b+c=1，则的最小值为 18空间直角坐标系
4、中，已知点P（x，y，z）是以原点为球心，1为半径的球面上任意一点，则的最大值等于 19函数的最大值为 20若a2+b2+c2=1，则a+2b+3c的最大值为 21已知x+2y+3z=1，则2x2+2y2+z2的最小值为 22已知实数a，b，c满足a+2bc=1，则a2+b2+c2的最小值是 23（不等式选讲选做题）若a、b、cR，且a2+2b2+3c2=6，则a+b+c的最小值是 24（不等式选讲选做题）已知a，b，cR+，且a+b+c=1，则的最大值为 25已知x+2y+3z=1，则x2+y2+z2取最小值时，x+y+z的值为 26实数x，y，z 满足x2+y2+z2=1，则xy+yz的最
5、大值是为 27若x，y，z均大于零，且x+3y+4z=6，则x2y3z的最大值为 三解答题（共23小题）28已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：29已知x+y+z=1，求证30设实数x，y，z满足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值31已知|x+2y+3z|4（x，y，zR）（）求x2+y2+z2的最小值；（）若对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围32已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，（） 求证：；（）若c=ab，求c的最大值33若不等式|a1|x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范
6、围34（选修45：不等式选讲）已知正数x，y，z满足x2+y2+z2=1（）求x+2y+2z的最大值；（）若不等式|a3|x+2y+2z对一切正数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围35观察下列两个结论：（）若a，bR+，且a+b=1，则；（）若a，b，cR+，且a+b+c=1，则；先证明结论（），再类比（）（）结论，请你写出一个关于n个正数a1，a2，a3，an的结论？（写出结论，不必证明）36（）在极坐标系内，已知曲线C1的方程为22（cos2sin）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C1的直角坐
7、标方程以及曲线C2的普通方程；（2）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值（）已知f（x）=m|x2|，且不等式f（x+2）0解集为1，1（1）求正实数m的大小；（2）已知a，b，cR，且=m，求a+2b+3c的最小值37不等式选讲：已知x，y，zR，且x2y3z=4，求x2+y2+z2的最小值38（选修45：不等式选讲）已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值39设a，b，c均为正数，且a+2b+3c=2，求的最小值40已知x、y、z均为正实数，且x+y+z=1求证：+41选修45：不等式选讲已知a0，b0，c0，求证：（+）（+）942选修4
8、5：不等式证明选讲已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围43已知x、y、z均为正数，求证：44（选做题）已知a，b，c为正实数，且（）证明：；（）求的最小值45已知正实数x，y，z满足x2+y2+z2=8，设M=，当x、y、z为何值时，M取得最小值？并求出M的最小值46已知实数a、b、c满足a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，求c的取值范围47选修45：不等式选讲已知|x2y|=5，求证：x2+y2548设x，y，zR且x+2y+3z=1（I）当z=1，|x+y|+|y+1|2时，求x的取值范围；（II）当x0，y0，z0时，求的最小
9、值49（选做题）已知x2+3y2+4z2=2，求证：|x+3y+4z|450（1）选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量=，并且矩阵M对应的变换将点（1，2）变换成（3，0），求矩阵M（2）选修44：坐标系与参数方程过点M（3，4），倾斜角为的直线l与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定|MA|MB|的值（3）选修45：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值一般形式的柯西不等式4-5参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到
10、a1，a2，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小依此规定，从a1，a2，an推出的a=（）ABCD【分析】由题意知所测量的“最佳近似值”a是与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近，知a是所有数字的平均数【解答】解：所测量的“最佳近似值”a是与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近，a是所有数字的平均数，a=，故选：B2已知a，b，cR，且a+b+c=0，abc0，则+的值（）A小于0B大于0C
11、可能是0D正负不能确定【分析】因为a+b+c=0，abc（乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为负数把a+b+c=0变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断【解答】解：a+b+c=0，abc0，a，b，c中只能有一个正数，另两个为负数，不妨设a0，b0，c0由a+b+c=0得a=（b+c）代入得，+=+，（b）+（c）（）4，即，=0，故选A3已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A8，+）B（，42，+）C（，18，+）D2，+）【分析】由柯西不等式求得，可得|x1|+|x+m|3对任意实数x恒成立再根据|x1|+|x+m|m+1|，
12、可得|m+1|3，由此求得m的范围【解答】解：由柯西不等式得，即，即的最大值为3，当且仅当时等号成立所以对任意实数a，b，c，x恒成立等价于|x1|+|x+m|3对任意实数x恒成立又因为|x1|+|x+m|（x1）（x+m）|=|m+1|对任意x恒成立，因此有即|m+1|3，解得m2或m4，故选：B4设变量x，y满足|x2|+|y2|1，则的最大值为（）ABCD【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案【解答】解：如图即为满足不等|x2|+|y2|1的可行域，是一个正方形，得A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）当x=1，y
13、=2时，则=，当x=2，y=1时，则=，当x=3，y=2时，则=，当x=2，y=3时，则=，则有最大值故选B5已知x，y，zR+且x+y+z=1则x2+y2+z2的最小值是（）A1BCD2【分析】直接利用：（x2+y2+z2）（1+1+1 ）（x+y+z）2这个柯西不等式求x2+y2+z2的最小值【解答】解：（x2+y2+z2）（1+1+1 ）（x+y+z）2=1，x2+y2+z21=，当且仅当x=y=z时取等号，故 x2+y2+z2的最小值为，故选B6已知x，y，zR，且=1，则x+的最小值是（）A5B6C8D9【分析】直接利用柯西不等式，即可得出结论【解答】解：由柯西不等式可得x+=（x+）（）（1+1+1）2=9，x+的最小值是9，故选：D二填空题（共21小题）7已知|x+2y+3z|4（x，y，zR）（）求x2+y2+z2的最小值；（）若|a+2|（x2+y2+z2）对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围【分析】（I）利用柯西不等式即可得出；（II）由（I）可得x2+y2+z2的最小值为因此|a+2|4，解出即可【解答】解：（）（x+2y+3z）2（12+22+32）（x2+y
